Kolloquium im Wintersemester 2009/10
27.11.2009
Prof. Dr. Kathrin Bringmann,
Köln:
Asymptotische und genaue Formel für Koeffizienten
harmonischer Maaß-Formen
Seit einiger Zeit sind harmonische Maaß-Formen ein vielbeachteter
Forschungsschwerpunkt in der Zahlentheorie und haben auch außerhalb
vielfältige Anwendungen beispielsweise in anderen Bereichen der
Mathematik (z.B. Lie-Theorie), Physik (z.B. der Theorie schwarzer
Löcher) und Biologie (z.B. zellulären Wachstumsmodellen).
Frau Prof. Bringmann
wurde 2009 mit dem Alfried-Krupp-Förderpreis für
junge Hochschullehrer sowie mit dem Sastra-Ramanujan-Preis
(vergeben für
»outstanding contributions to areas of mathematics influenced by the
genius Srinivasa Ramanujan (1887-1920)«) ausgezeichnet.
Frau Prof. Bringmann ist Gast von Prof. Schulze-Pillot.
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04.12.2009
Prof. Dr. Gabriele Steidl,
Mannheim:
Operator-Splitting-Techniken in der Bildverarbeitung
Operator-Splitting-Techniken wurden in letzter Zeit sehr erfolgreich in
der digitalen Bildverarbeitung angewendet, u.a. zur Beseitigung von
Unschärfe bei Bildern mit Poisson- oder multiplikativem
Gamma-Rauschen, zum Inpainting (Interpolation) oder Multi-Task-Learning.
Der Vortrag gibt zunächst eine Einführung in die relevanten
Operator-Splitting-Methoden ausgehend von der Theorie der
»Averaged-Operatoren«. Insbesondere wird auf
- Bregman-Proximal-Point-Methoden,
- primal-duale Lagrange-Methoden,
- Multistep-Techniken
eingegangen. Danach werden die entsprechenden Anwendungen gezeigt.
Frau Prof. Steidl ist Gast von Prof. Weickert.
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11.12.2009
Prof. Dr. Hans-Georg Rück,
Kassel:
Rationale Punkte auf algebraischen Kurven
Der Vortrag soll einen kleinen Einblick in die Welt der
diophantischen Geometrie geben, ohne spezielle Kenntnisse aus
Zahlentheorie oder algebraischer Geometrie vorauszusetzen.
Im Mittelpunkt stehen dabei die Suche und die Klassifikation
von rationalen Punkten auf algebraischen Kurven kleinen Grades.
Herr Prof. Rück ist Gast von Prof. Gekeler.
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15.01.2010
Prof. Dr. Peter Deuflhard,
Berlin:
Analysis und Numerik dynamischer Kontaktprobleme
The speaker and his research group in computational medicine have come
across dynamical contact problems in the context of a collaboration on
orthopaedic surgery (SFB 765). Special first attention has focussed on
the motion of the patient-specific knee.
As it turned out, the numerical integration of time dependent contact
problems has stayed unsatisfactory for decades. The classical Newmark
method, which is quite popular in the engineering world, is a real
»perpetuum mobile« in that it generates energy! A rather
recent improvement due the Caltech group around Marsden and Ortiz is
energy dissipative, but still unsatisfactory, since it produces
artificial oscillations (untolerable in the collaboration with surgeons!).
More recently, the speaker and his coworkers have suggested a further
modification meanwhile called »contact-stabilized Newmark method«.
This scheme now is energy dissipative and avoids artificial oscillations.
However, all Newmark schemes escape the usual domain of consistency theory
for numerical integration. After a long investigative period, we found
the theoretical key to this kind of integrators. The new theoretical
characterization requires bounded variation in terms of a physical energy
funtional that includes kinetic energy, elastic energy, and visco-elastic
energy. First numerical findings for an adaptive stepsize control in a
Hertzian contact problem will be presented.
Herr Prof. Deuflhard ist Gast von Prof. Louis.
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22.01.2010
Prof. Dr. Jens-Peter Kreiß,
Braunschweig:
Bootstrap für stationäre und lokal stationäre
Zeitreihenmodelle
Nach einer Einführung in die für den Vortrag wesentlichen
Teile der Zeitreihenanalyse und des Bootstraps werden verschiedene
Resamplingansätze diskutiert und auf ihre Eigenschaften hin
untersucht. Ein wichtiges Ziel ist es, die Idee der Verbindung von
zwei grundsätzlich unterschiedlichen Zugängen zu einem
hybriden Verfahren zu verdeutlichen und die Vorteile darzustellen.
Zum Abschluss werden lokal stationäre Modelle erläutert,
und es wird demonstriert, dass sich die vorgestellten Ansätze
darauf erweitern lassen.
Herr Prof. Kreiß ist Gast von Prof. Bender.
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29.01.2010
Prof. Dr. Jürgen Pöschel,
Stuttgart:
Normal form theory of the defocusing nonlinear Schrödinger
equation
We consider the defocusing Schrödinger equation
i ut = –uxx + 2 |u|2 u
with periodic boundary conditions. Like the more prominent KdV equation,
it represents an infinite dimensional integrable Hamiltonian system.
Via the Lax pair formalism, a complete set of integrals is provided by
spectral data of the so called Zhakarov-Shabat operator associated with
u. The corresponding invariant manifolds are tori of varying
dimension, similar to classical integrable Hamiltonian systems.
Using ideas of Flaschka, McLaughlin, McKean, Vaninsky – among
others – these spectral data can be used to define action-angle
coordinates, and subsequently even global canonical coordinates, so that
the Hamiltonian of the nonlinear Schrödinger equation takes the
classical normal form
H = H(..., xi2+yi2, ...)
albeit in infinitely many coordinates. Thus the nonlinear
Schrödinger equation is brought globally into normal form.
As an application of these so called Birkhoff coordinates we mention
the well-posedness problem of the defocusing nonlinear
Schrödinger equation on the circle in weighted Sobolev spaces.
Herr Prof. Pöschel ist Gast von Prof. Groves.
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19.03.2010
Dr. Tomáš Dohnal,
Karlsruhe:
Rigorose Asymptotik von Gap-Solitonen in nichtlinearen
periodischen Medien
Ein faszinierendes Phänomen der Wellenausbreitung in nichtlinearen
Medien sind solitäre Wellen, die ihre Form während der
Ausbreitung nicht ändern. In periodischen Strukturen, wie z.B.
photonischen Kristallen, existieren solitäre Wellen für
Frequenzen (oder Spektralparameter), die in Lücken der zugehörigen
Bandstruktur liegen. Sie heißen Gap-Solitonen. Gap-Solitonen in
photonischen Kristallen gelten als potenzielle Trägersignale für
zukünftige Anwendungen in optischen Computern und in der
Signalverarbeitung.
Die Verzweigung von Gap-Solitonen von Rändern der Bandstruktur kann
durch eine so genannte »slowly varying envelope«-Näherung
beschrieben werden. Dabei genügen die Einhüllenden einem System
von partiellen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, die
»coupled mode equations« (CME) heißen. Wir analysieren
diese Verzweigung im Fall der kubisch nichtlinearen
Schrödinger-Gleichung in 2D. Wir werden zeigen, dass die formale
Herleitung der CME im Allgemeinen notwendigerweise in Bloch-Variablen
(nach der Bloch-Transformation) durchgeführt werden muss. Wir
rechtfertigen zunächst die asymptotische Näherung rigoros
mit Hilfe der Lyapunov-Schmidt-Zerlegung und schätzen den
Approximationsfehler in einer geeigneten Hs-Norm
mittels des Banach'schen Fixpunktsatzes ab. Der Zusammenhang zwischen der
Bandstruktur, der Form der CME und den Eigenschaften der Gap-Solitonen
wird ebenfalls diskutiert.
Herr Dr. Dohnal ist Gast von Prof. Groves.
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19.03.2010
Dr. Michael Herrmann,
Oxford:
Wellen und Oszillationen im makroskopischen Limes
hamiltonscher Gittergleichungen
Gittergleichungen (lattice equations) sind hochdimensionale Systeme
gewöhnlicher Differentialgleichungen, die das Verhalten
makroskopischer Festkörper oder optischer Medien auf einer sehr
kleinen, atomaren Skala modellieren. In diesem Vortrag beschreibe ich
zunächst einige der mathematischen Probleme, die im Bereich der
Mehrskalenanalysis hamiltonscher Gittergleichungen auftreten, und
skizziere mögliche Lösungsansätze. Dabei werde ich
insbesondere auf modulierte Oszillationen und makroskopische
Schockwellen eingehen. Anschließend präsentiere ich neuere
mathematische Resultate über die Existenz und qualitativen
Eigenschaften periodischer, homokliner und heterokliner Wellen in
diskreten hamiltonschen Medien.
Herr Dr. Herrmann ist Gast von Prof. Groves.
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19.03.2010
Dr. Christian Pötzsche,
München:
Nichtautonome Dynamik: Fortsetzung, Verzweigung und Anwendung
Nichtautonome dynamische Systeme werden von Differential- oder
Differenzengleichungen erzeugt, deren rechte Seite explizit von der
Zeit abhängt. Sie sind aus Anwendungssicht gut motiviert, um etwa
Modelle unter saisonalen, Kontroll- oder zufälligen Einflüssen
mathematisch zu analysieren. Allerdings besitzen die resultierenden
Gleichungen aufgrund ihrer beliebigen Zeitabhängigkeit im Allgemeinen
weder Ruhelagen noch periodische Lösungen. Daher ist eine
Erweiterung der klassischen Theorie dynamischer Systeme erforderlich.
Unser entsprechender Zugang basiert auf der Beobachtung, dass Ruhelagen
autonomer Gleichungen als beschränkte und auf der gesamten
Zeitachse definierte Lösungen erhalten bleiben. Auf dieser Grundlage
werden Ansätze zu einer nichtautonomen Verzweigungstheorie
vorgestellt. Typischerweise werden hierbei algebraische Probleme der
autonomen Theorie (Bestimmung von Ruhepunkten, Taylor-Koeffizienten etc.)
zu dynamischen, d.h. es sind beschränkte Lösungen zu bestimmen.
Das so genannte Dichotomie-Spektrum dient als Hyperbolizitäts-Konzept,
und exponentielle Dichotomien machen eine analytische Verzweigungstheorie
anwendbar, aber auch weniger klassische und im autonomen Fall unbekannte
Phänomene treten auf.
Herr Dr. Pötzsche ist Gast von Prof. Groves.
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