Vorträge im Wintersemester 2009/10
16.10.2009
Johannes Lengler
(öffentliches Promotionskolloquium):
Die Cohen-Lenstra-Heuristik für endliche abelsche Gruppen
Es ist gut belegt, dass sich Zahlen, die »in der Natur« auftreten
(z.B. Einwohnerzahlen, Flusslängen, Aktienkurse u.v.m.), gemäß
gewissen stochastischen Regeln verteilen. Am berühmtesten ist Benfords
Gesetz, nach welchem die Ziffer 1 mit höherer Wahrscheinlichkeit (ca.
30,1%) als Anfangsziffer auftritt als größere Ziffern wie die 9
(ca. 4,6%).
In den letzten 25 Jahren hat sich die Erkenntnis durchgesetzt, dass solche
Prinzipien auch für innermathematische Objekte gelten. Besonders
erfolgreich ist dabei eine 1984 von Henri Cohen und Hendrik W. Lenstra
entwickelte Verteilung für endliche abelsche Gruppen. Die Grundidee ist,
dass eine Gruppe um so seltener auftreten sollte, je mehr Automorphismen sie
hat.
In meinem Vortrag werde ich diese Verteilung vorstellen. Insbesondere werde
ich dabei auf einen Zusammenhang mit Partitionen eingehen, der es erlaubt,
einige wichtige Kenngrößen einfach zu berechnen. Des Weiteren
werde ich die Probleme andeuten, die sich ergeben, wenn man die Verteilung
von der lokalen Situationen (d.h. für p-Gruppen) auf den globalen
Fall (für nicht notwendig primäre Gruppen) überträgt, und
eine Lösung für diese Probleme präsentieren.
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23.10.2009
Dominik Breit
(öffentliches Promotionskolloquium):
New Regularity Theorems for Anisotropic Variational Integrals
In dieser Arbeit werden neue Regularitätsaussagen für Minimierer
u: Rn→RN von
Energiefunktionalen mit anisotropen Wachstumsbedingungen bewiesen, wobei
die Wachstumsraten der Dichte F nach oben und unten durch zwei
verschiedene Exponenten p und q beschrieben werden.
Betrachtet werden Probleme mit einem »Splitting-Type«-Integranden,
das bedeutet, F lässt sich additiv in zwei Funktionen f
und g zerlegen. Die bestehenden Aussagen im Fall n=2 oder
N=1 werden deutlich erweitert, und erstmals wird ein partieller
Regularitätssatz unter allgemeinen Wachstumsbedingungen bewiesen.
Im Fall des (p,q)-elliptischen Integranden besteht eine
Lücke zwischen der autonomen und nichtautonomen Situation, die durch
zusätzliche Annahmen an die Dichte F geschlossen wird.
Schließlich werden »Splitting-Type«-Probleme mit
ortsabhängigen Integranden untersucht und die Ergebnisse aus dem ersten
Teil der Arbeit auf diese Situation ausgedehnt. Dies ermöglicht erstmals
eine Regularitätstheorie für solche Probleme mit x-abhängigen
Exponenten.
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30.11.2009
Florian Breuer
(im Oberseminar Zahlentheorie):
Drinfeld modular polynomials
Let A=Fq[T].
I will introduce Drinfeld modular polynomials
which classify isogenies of a given type between Drinfeld A-modules of
rank r≥2. For isogenies with kernel isomorphic to
(A/pA)s, for
some 1≤s<r, and p a prime in A,
the resulting polynomials
factorize in an interesting way when reduced modulo p. This gives a
generalization of the well-known Kronecker congruence relations to
arbitrary rank r.
Joint work in progress with Hans-Georg Rueck.
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14.12.2009
Ben Kane
(im Oberseminar Zahlentheorie):
Equidistribution of Heegner Points and Quadratic Forms
In this talk, we will give an equidistribution result involving single
reduction
maps from Heegner points to supersingular points. Our methods will go
through
the theory of quaternion algebras and primitive representations of
integers by
positive definite ternary quadratic forms. As a side effect, we obtain an
equidistribution result for optimal embeddings of the quadratic field order
Od of discriminant d in Eichler orders.
Joint work with Dimitar Jetchev.
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18.12.2009
Oliver Schirra
(öffentliches Promotionskolloquium):
Regularity Results for Solutions to Variational Problems with
Applications in Fluid Mechanics and General Relativity
Es werden Variationsprobleme mit Anwendungen in der Fluid-Mechanik und der
allgemeinen Relativitätstheorie untersucht. Im Variationsmodell für
Fluide ist die Existenz von Lösungen mit klassischen Argumenten belegt,
und es stehen Regularitätsuntersuchungen im Vordergrund. In diesem
Zusammenhang werden neue Regularitätsresultate für asymptotische
Modelle verallgemeinerter newtonscher Fluide präsentiert.
In der allgemeinen Relativitätstheorie spielen Funktionale eine Rolle,
deren Dichten nur noch vom deviatorischen (spurfreien) Anteil des
symmetrischen Gradienten abhängen. Hier ist zunächst die
Existenzfrage zu klären, wozu neue Varianten der Korn-Ungleichung
herangezogen werden, welche die Koerzivität der Funktionale liefern.
Im Anschluss werden lineare, elliptische Systeme untersucht und damit die
Grundlage für die Entwicklung einer Regularitätstheorie geschaffen.
Beispielhaft werden schließlich einige Regularitätsresultate aus
dem Fluid-Kontext auf die neue Situation übertragen.
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15.02.2010
Caroline Fasel
(öffentliches Promotionskolloquium):
Numerik der nichtlokalen Elektrostatik
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen und
numerischen Behandlung einer alternativen Formulierung der nichtlokalen
Elektrostatik. Das ursprüngliche System von Integrodifferentialgleichungen
wird in ein äquivalentes Differentialgleichungssystem überführt.
In einem kugelsymmetrischen Spezialfall wird eine analytische Lösung des
Systems hergeleitet. Die Eigenschaften des Systems werden untersucht und das
Problem unter Verwendung einer partikulären Lösung in ein System von
Randintegralgleichungen überführt. Diese werden mit Hilfe der
Randelementmethode numerisch gelöst.
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