Die Theorie endlicher Körper hat in den letzten 50 Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen, da sie in vielen Gebieten Anwendung findet wie z.B. in der Generierung von Zufallszahlen, der Codierungstheorie und der Kryptographie.
Die Wurzeln dieser Theorie reichen bis ins 17. und 18. Jahrhundert. Erste Erkenntnisse dazu sammelten u.a. Pierre de Fermat (1601 - 1665), Leonhard Euler (1707 - 1783) und Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813).
In unserem Seminar werden wir uns mit dem Buch

Lidl, R.; Niederreiter, H.; Introduction to finite fields and their applications; Cambridge University Press 1994;

auseinandersetzen, das sowohl klassische als auch anwendungsrelevante Aspekte der Theorie der endlichen Körper darstellt.
Ziel der einzelnen Vorträge wird es sein, die zentralen Aussagen der detaillierten Ausführungen zu erfassen und diese den TeilnehmerInnen vorzustellen.

Voraussetzungen zur Teilnahme sind Vorkenntnisse, die dem Stoff der Algebra 1 entsprechen.

Herzlich willkommen sind neben den Studierenden der Mathematik auch MitarbeiterInnen und Studierende der Informatik.

Die Vorträge finden jeweils dienstags von 14 Uhr (ct) bis 16 Uhr im Seminarraum 3 statt.

Gliederung des Seminars

Kapitel 2: Grundlagen
Wiederholung der Begriffe Norm, Spur, Basen, $n$-tes Kreisteilungspolynom, $n$-ter Kreisteilungskörper; Satz von Wedderburn
 

Kapitel 3: Polynome über endlichen Körpern

1. Ordnung von Polynomen, Zahl der irreduziblen normierten Polynome vorgegebener Ordnung, Bestimmung der Ordnung;
2. Irreduzible Polynome, Möbius-Funktion, Möbius-Formel, Zusammenhang mit Kreisteilungspolynomen;
3. Konstruktion irreduzibler Polynome;
4. Lineare Polynome, getwisteter Polynomring, Nullstellenbestimmung, $ggT$-Berechnung;
5. Binome und Trinome.

1. Berlekamp-Algorithmus, chinesischer Restsatz;
2. Diagonalisierungsalgorithmus, Matrizen über Polynomringen;
3. Berechnung von Nullstellen.

1. Periodizität;
2. Impuls-Responz-Folgen, charakteristisches Polynom;
3. erzeugende Funktionen, formale Potenzreihen, invertierbare  Potenzreihen und deren Inverse; Minimalpolynom;
4. Familien rekursiver Folgen, Addition und Multiplikation von  Folgen;
5. Charakterisierung rekursiver Folgen,  Berlekamp-Massey-Algorithmus zur Berechnung von Minimalpolynomen;
6. Verteilung gewisser Zahlen in rekursiven Folgen; Erzeugung von Zufallszahlen (7.4).

1. Hintegrund;
2. Verschlüsselung;
3. diskreter Logarithmus, Index-Calculus-Algorithmus.