UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 10

Aufgabe 44 (5+5=10 Punkte)

(a) Begründen Sie, dass die Funktion

f : ℝ → ℝ, f(x) = x + e^{x}

eine Umkehrfunktion f^{−1} besitzt. Bestimmen Sie (f^{−1})′ (1). Hinweis: Die Lösung der Gleichung x + e^{x} = 1 können Sie leicht erraten.

(b) Die Funktion

arcsin : [−1, 1] → [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]

ist die Umkehrfunktion von sin : [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] → [−1, 1]. Berechnen Sie die Ableitung von arcsin an den Stellen x_{1} = −\frac{1}{2}, x_{2} = 0 und x_{3} = \frac{1}{2} \sqrt{3}.

Aufgabe 45 (4+3+3=10 Punkte)

(a) Der Energieverbrauch von Zugvögeln, die mit der Geschwindigkeit v > 0 fliegen, wurde durch Pennycuick mit der Formel

E(v) = Aρv + \frac{G}{Bρ} \frac{1}{v}

beschrieben. Hierbei ist ρ die Dichte der Luft, G das Gewicht des Vogels und A = angeströmte Fläche · geometrischer Faktor. Skizzieren Sie die Funktion E und bestimmen Sie das Minimum.

(b) Der Energieverbrauch eines Wellensittichs im Flug in \frac{J}{g·km} sei (in leichter Abwandlung der Formel aus (a)) durch die Formel E(v) = \frac{1}{v}(0.31(v − 35)^{2} + 92) beschrieben. Dabei wird die Geschwindigkeit v in km/h gemessen. Welche Geschwindigkeit ist am energieeffizientesten?

(c) Der Ertrag y einer Pflanzensorte wächst nicht beliebig mit der Düngung x, sondern gemäß dem Gesetz von Mitscherlich,

y = y_{0}(1 − e^{−kx}),

wobei y_{0} die maximale Kapazität und k die relative Wachstumskonstante ist. Wieviel Dünger müssen Sie einsetzen, um Ihren Gewinn G = c_{1}y − c_{2}x zu maximieren? Dabei sind die Konstanten y_{0}, k, c_{1}, c_{2} alle positiv.

Aufgabe 46 (5+5=10 Punkte)

(a) Bestimmen Sie die Seitenlängen a und b sowie den Flächeninhalt A desjenigen gleichschenkligen Dreiecks, das bei gegebenem Umfang U=9cm eine maximale Fläche enthält.

(b) Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C beträgt 1000m. Auf der Straße kann sich der Fußgänger mit 6km/h fortbewegen, auf dem Acker nur mit 3.6km/h. Welchen Weg soll er einschlagen?

Aufgabe 47 (2+2+2+2+2=10 Punkte)

(a) Berechnen sie die folgenden bestimmten Integrale:

(i) ∫_{0}^{4} (2x^{2} − 3\sqrt{x}) dx  (ii) ∫_{−1}^{1} e^{−2x}dx
(iii) ∫_{1}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x−3}) dx  (iv) ∫_{4}^{9} \sqrt{\frac{9}{x^{3}}} dx

(b) Welche Fläche liegt im Bereich zwischen 0 und π zwischen der x-Achse und der Sinusfunktion?

Aufgabe 48 (3+3+2+2=10 Punkte)

Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{−π}^{π} (sin x · x) dx (Hinweis: partielle Integration)

(b) ∫_{0}^{1} (e^{x} · x^{2}) dx (Hinweis: partielle Integration)

(c) ∫_{2}^{4} (x · log(x^{2} + 1)) dx (Hinweis: Substitutieren Sie u(x) := x^{2} + 1)

(d) ∫_{0}^{1} \sqrt{1 − x^{2}}dx (Hinweis: Substitutieren Sie u(x) := arcsin(x), also x = sin(u))

Bitte melden Sie sich zur Hauptklausur am 12.02. im LSF-System (HisPos) an.

Abgabe: Freitag, 15.01.2009 vor der Vorlesung