UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 11

Aufgabe 44 (2+2+3+3=10 Punkte) Berechnen sie die folgenden bestimmten Integrale:

(a) ∫_{0}^{1} (1 + x + x^{2}) e^{−x}dx Hinweis: partielle Integration

(b) ∫_{0}^{4} \sqrt{2t + 1}dt Hinweis: Substitution

(c) ∫_{−1}^{1} \frac{u+1}{u^{2}+2u+3}du Hinweis: Substitution

(d) ∫_{0}^{1} log(\sqrt{2v + 1})dv Hinweis: Wenden Sie zunächst die Rechenregeln des Logarithmus an. (Was ist log(\sqrt{x})?) Substitutieren Sie anschließend geeignet.

Aufgabe 45 (1+1+1+2+1+1+1+2=10 Punkte) Überprüfen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert:

(a) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{2}} dx  (b) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x}dx  (c) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{x}}dx  (d) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{e^{x}} dx
(e) ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} dx  (f) ∫_{0}^{1} \frac{1}{x}dx  (g) ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}dx  (h) ∫_{0}^{1} log(x)dx

Aufgabe 46 (5+5 = 10 Punkte) Finden Sie zu den folgenden Funktionen eine Stammfunktion. (a)

f_{1} : ℝ \ \{α, β\} → ℝ, f_{1}(x) = \frac{x + 5}{x^{2} + x − 2}

(b)

f_{2} : ℝ → ℝ, f_{2}(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

Anleitung: Bestimmen Sie die (möglicherweise komplexen) Nullstellen α, β des Nenners. Finden Sie dann Zahlen A, B ∈ ℂ mit

f_{i}(x) = \frac{A}{x − α} + \frac{B}{x − β} .

(Dieses Verfahren nennt man Partialbruchzerlegung.) Integrieren Sie danach beide Summanden durch eine geeignete Substitution. Verwenden Sie außerdem im zweiten Fall zur Vereinfachung des Ergebnisses die Formel log(\frac{x+i}{x−i}) = −2i · arctan(x).

Aufgabe 47 (4+4+4+4+4=20 Punkte, 2 Bearbeitungspunkte) Bestimmen Sie eine Lösung zu den folgenden Anfangswertproblemen und ein maximales Intervall für den Definitionsbereich Ihrer Lösung.

(a) y′ = −3x^{2}y^{2}, y(2) = 1.

(b) y′ = −\frac{1+y^{2}}{xy} , y(1) = 2

(c) y′ = −\frac{1+y^{2}}{xy} , y(−1) = −2

(d) y′ = e^{y} · sin x, y(π) = − ln 2.

(e) y′ = x · (y^{2} + 2y) , y(1) = 2. Hinweis: Verwenden Sie in allen Aufgabenteilen das Verfahren der Trennung der Variablen.

Abgabe: Freitag, 22.01.2010 vor der Vorlesung