UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 2

Aufgabe 6 (3+3+4=10 Punkte) Bestimmen Sie zu den folgenden linearen Gleichungssysteme die Lösungsmenge. Benutzen Sie dabei die Matrixdarstellung des Gleichungssystems und den Gauß-Algorithmus.

(a) \{ \begin{matrix}x_{2} − x_{3} & = & −4 \\ x_{1} − 3x_{2} − x_{3} & = & 2 \\ 2x_{1} + 3x_{2} & = & 1 \\ −x_{1} − x_{2} + 2x_{3} & = & 5 \end{matrix}

(b) \{ \begin{matrix}x_{1} − 3x_{3} + x_{4} & = & 2 \\ 2x_{1} − 3x_{2} & = & −1 \\ −x_{1} + 2x_{2} − x_{3} + x_{4} & = & 0 \end{matrix}

(c) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 4 \\ x_{1} − x_{2} + x_{3} − x_{4} & = & 0 \\ \frac{1}{2}x_{1} + x_{2} + \frac{3}{2}x_{3} + 2x_{4} & = & 5 \\ x_{1} − 2x_{2} − x_{3} − 4x_{4} & = & −1 \end{matrix}

Aufgabe 7 (10 Punkte) Lösen Sie für jeden möglichen Wert t ∈ ℝ das folgende LGS. Machen Sie dabei eine Fallunterscheidung, wenn es notwendig ist.

( \begin{matrix}1 & t & −3t + 2 & −t + 1 \\ −2 & −t & 3t − 3 & t − 2 \\ −4 & −3t & t^{2} + 5t − 4 & −t^{2} + 4t − 4 \end{matrix} )

Aufgabe 8 (3+1+1+3+1+1=10 Punkte) Wir betrachten die folgenden Vektoren im ℝ^{3}:

a_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , a_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) , a_{3} = ( \begin{matrix}−3 \\ 6 \\ −5 \end{matrix} ) , a_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , a_{5} = ( \begin{matrix}−2 \\ 2 \\ −4 \end{matrix} ) .

Welche der folgenden Vektoren sind linear unabhängig?

(a) a_{1}, a_{2}, a_{3}  (b) a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}  (c) a_{1}, a_{5}  (d) a_{3}, a_{4}, a_{5}  (e) a_{1}, a_{2}, a_{5}  (f) a_{1}, a_{4}

Aufgabe 9 (5+5 Punkte)

(a) Wie muss man eine Zahl α ∈ ℝ wählen, so dass die Vektoren

( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \frac{1}{2} ; α ; 0 ) , ( \begin{matrix}−\frac{1}{2} \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )

linear abhängig werden ?

(b) Begründen Sie die folgende Aussage: Sind a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ ℝ^{3} linear unabhängige Vektoren, so lässt sich jeder beliebige Vektor a ∈ ℝ^{3} in der Form

a = c_{1} · a_{1} + c_{2} · a_{2} + c_{3} · a_{3}

mit geeigneten reellen Zahlen c_{1}, c_{2}, c_{3} schreiben. Hinweis: Was wissen Sie über die lineare Unabhängigkeit von a_{1}, a_{2}, a_{3}, a ?

Aufgabe 10 (7+3 Punkte)

(a) Sei

A := ( \begin{matrix}\sqrt[\frac{1}{2}]{3} & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} \end{matrix} ) .

Verifizieren Sie durch Ausmultiplizieren, dass

A^{3} = A · A · A = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

(b) Was sind A^{6}, A^{9} und A^{12}?

Abgabe: Freitag, 30.10.2009 vor der Vorlesung