UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 3

Aufgabe 11 (3+7=10 Punkte)

(a) Gegeben seien die Zeilenvektoren v = (1 2 −3 5) und w = (−2 0 1 0) ∈ ℝ^{4}. Welche der Matrixprodukte v ∗ w, v^{t} ∗ w, v ∗ w^{t} und v^{t} ∗ w^{t} sind definiert? Berechnen Sie gegebenenfalls die Produkte.

(b) Wir betrachten die folgenden Matrizen:

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 3) ,  B = ( \begin{matrix}−2 & −5 \\ −1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 2),

C = ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M(2 × 3) ,  D = ( −3 2 1 ) ∈ M(1 × 3).

Bestimmen Sie alle Möglichkeiten, zwei dieser Matrizen miteinander zu multiplizieren (beachten Sie, dass eine Matrix auch mit sich selbst multipliziert werden kann). Berechnen Sie für mindestens drei dieser Möglichkeiten das Matrixprodukt.

Aufgabe 12 (7+3=10 Punkte)

(a) Betrachten Sie die beiden 2 × 2-Matrizen P = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und S = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) sowie

die zugehörigen linearen Abbildungen

f_{P} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ↦ P · ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) und f_{S} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ↦ S · ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) .

Beschreiben Sie die Wirkungsweise von f_{P} und f_{S} geometrisch. Berechnen Sie die Matrizen (P · P) , (S · S) , (P · S) und (S · P) und beschreiben Sie die Wirkungsweise der zugehörigen linearen Abbildungen.

(b) Gegeben seien die Matrizen

A := ( \begin{matrix}5 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}−2 & 5 & 9 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ M(4 × 4).

Mit f_{A} und f_{B} seien die zugeörigen linearen Abbildungen bezeichnet. Weiter sei ein bekannter Vektor b ∈ ℝ^{4} gegeben, und es seien x, y ∈ ℝ^{4} unbekannte Vektoren, für die f_{A}(x) = f_{B}(y) = b gilt. Können Sie anhand dieser Angaben die Vektoren x bzw. y eindeutig bestimmen? (Sie brauchen keine explizite Formel für x bzw. y zu finden.)

Aufgabe 13 (1+2+2+2+3=10 Punkte) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:

A = ( 4 −6^{\frac{1}{3} \frac{1}{2}} ) , B = ( \begin{matrix}2b − 3 & b + 1 \\ 2b & −b \end{matrix} ) (b ∈ ℝ beliebig), C = ( \begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 2 & −1 & 4 \\ 3 & 0 & −1 \end{matrix} ) ,

D = ( \begin{matrix}d & −1 & −1 \\ 2 & 0 & −d \\ −1 & 2 & 0 \end{matrix} ) (d ∈ ℝ beliebig), E = ( \begin{matrix}−2 & 2 & −1 & 0 \\ 1 & −1 & 2 & 3 \\ 0 & −2 & 0 & 4 \\ −1 & 0 & 3 & −1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 14 (6+4 Punkte)

(a) Sei A = ( \begin{matrix}−5 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & −3 \\ −3 & 2 & 0 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 3) gegeben. Prüfen Sie, ob A invertierbar ist und

berechnen Sie gegebenenfalls die Inverse. Lösen Sie dann die linearen Gleichungssy-

steme (A|b) und (A|c) mit den rechten Seiten b = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 6 \end{matrix} ) und c = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ).

(b) Prüfen Sie nach, ob die Matrizen B = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −4 & 7 \end{matrix} ) und C = ( \begin{matrix}2 & −4 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) invertier-

bar sind und berechnen Sie gegebenenfalls die Inverse.

Aufgabe 15 (2+4+4=10 Punkte, optional)

Die Cramer’sche Regel besagt das Folgende: Ist A ∈ M(n×n) mit det A ≠ 0, so hat jedes LGS (A|b) mit b ∈ ℝ^{n} eine \underline{eindeutige} Lösung x ∈ ℝ^{n}. Diese Lösung kann man wie folgt bestimmen: Man bildet für 1 ≤ j ≤ n die Matrix A_{j} ∈ M(n × n), indem man die j − te Spalte von A durch den Vektor b ersetzt. Dann berechnet man x_{j} = \frac{det A_{j}}{det A}

und erhält den gesuchten Lösungsvektor x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ). Beispiele hierzu finden Sie im Skript.

Lösen Sie damit die folgenden linearen Gleichungssysteme:

(a) ( \begin{matrix}3 & −2 & 2 \\ −2 & −2 & 1 \end{matrix} ).

(b) ( \begin{matrix}a & −1 & 1 \\ 1 & a & 0 \end{matrix} ) (a ∈ ℝ beliebig).

(c) ( \begin{matrix}−2 & −1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \\ −2 & 0 & −4 & −8 \end{matrix} ).

Abgabe: Freitag, 06.11.2009 vor der Vorlesung