UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 4

Aufgabe 16 (3+5+2=10 Punkte) Benutzen Sie Satz 2.18 zur Beantwortung der folgenden Fragen:

(a) Sind die Vektoren ( \begin{matrix}−3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ) linear unabhängig?

(b) Für welche Zahlen x ∈ ℝ ist die Matrix

A(x) = ( \begin{matrix}x − 1 & −1 & x + 1 \\ −1 & 1 & −2 \\ 2 & x & 4 \end{matrix} )

invertierbar?

(c) Was ist die Determinante von

B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 1000 \\ 11 & 101 & 1001 \end{matrix} ) ?

Aufgabe 17 (10 Punkte) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Determinante von

( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 2 & −5 \\ −1 & −3 & 2 & −4 & 4 \\ −1 & 3 & −1 & 1 & 0 \\ −3 & −1 & 5 & −1 & −5 \\ −5 & 3 & 1 & −1 & −1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 18 (5 × 2 =10 Punkte)

(a) Geben Sie eine 2 × 2-Matrix A an, deren zugehörige lineare Abbildung f_{A} : ℝ^{2} → ℝ^{2} einer Drehung um 60^{∘} (gegen den Uhrzeigersinn) entspricht. (Mit anderen Worten: Ist x ∈ ℝ^{2} ein Vektor, so soll A · x der um 60^{∘} gedrehte Vektor sein.)

(b) Berechnen Sie die inverse Matrix A^{−1}. Wie wirkt die dazu gehörige lineare Abbildung f_{(A^{−1})} auf einen Vektor x ∈ ℝ^{2}?

(c) Wie wirkt die Matrix A^{6} = A · A · A · A · A · A auf einen Vektor x ∈ ℝ^{2} ? Bestimmen Sie A^{6}, ohne zu rechnen.

(d) Geben Sie weiterhin eine 2 × 2-Matrix B an, deren zugehörige lineare Abbildung f_{B} : ℝ^{2} → ℝ^{2} einem Vektor x ∈ ℝ^{2} den an der x_{1}-Achse gespiegelten Vektor zuordnet.

(e) Gesucht ist nun schließlich eine 2 × 2-Matrix C, deren zugehörige lineare Abbildung einem Vektor x ∈ ℝ^{2} den Vektor zuordnet, den man erhält, wenn man x zuerst um 60^{∘} gegen den Uhrzeigersinn dreht und dann an der x_{1}-Achse spiegelt. Berechnen Sie C mithilfe von A und B.

Aufgabe 19 (2+3+5=10 Punkte) Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi mit a, b ∈ ℝ an.

(a) (2 + 4i) + (1 − 2i), (\frac{1}{2} − \frac{3}{5}i) − (−1 + i), 5 − (3i − (2 + 2i))

(b) (2 − 3i) · (1 + 2i), i · i · i · i, (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}i) · (1 − i − (4 + 2i))

(c) \frac{1+2i}{3−4i}, \frac{5−i}{2+i}, \frac{1}{i}.

Aufgabe 20 (5+5=10 Punkte)

(a) Geben Sie die Matrix A an, die zu folgender lineare Abbildung f_{A} : ℝ^{3} → ℝ^{3} gehört:

f_{A} (( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )) := ( \begin{matrix}2x_{1} − x_{3} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix} ) .

Ist die Abbildung f_{A} umkehrbar? Hat die Gleichung f_{A}(x) = ( \begin{matrix}5 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) eine Lösung,

und wenn ja, wie viele? (Sie brauchen die Lösung(en) nicht explizit zu berechnen.)

(b) Sei B ∈ M(m×n) eine Matrix und f_{B} die dazugehörige lineare Abbildung. Sei b ∈ ℝ^{m} gegeben, und sei x ∈ ℝ^{n} eine Lösung der Gleichung f_{B}(x) = b. Zeigen Sie: Ist x′ ∈ ℝ^{n} eine Lösung der homogenen Gleichung f_{B}(x) = 0, so ist x + x′ ebenfalls eine Lösung der Gleichung f_{B}(x) = b. Nun sei B außerdem quadratisch (also m = n) mit det(B) = 0. Was können Sie über die Zahl der Lösungen der Gleichung f_{B}(x) = b sagen?

Abgabe: Freitag, 13.11.2009 vor der Vorlesung