UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 5

Aufgabe 21 (2+2+1+1+3+3+2+2+2+2=20 Punkte, 2 Bearbeitungspunkte)

(a) Seien z_{1} = 4 · e^{−i· \frac{1}{3} π} und z_{2} = 2 · e^{i· \frac{1}{2} π}. Bestimmen Sie \frac{1}{z_{1}} , \frac{1}{z_{2}} , z_{1} · z_{2} und \frac{z_{1}}{z_{2}} .

(b) Welche der folgenden vier komplexen Zahlen sind gleich, welche sind verschieden voneinander?

z_{1} = 2 · e^{−i· \frac{1}{3} π}, z_{2} = −2 · e^{i· \frac{2}{3} π}, z_{3} = −2 · e^{−i· \frac{5}{3} π}, z_{4} = 2 · e^{i· \frac{5}{3} π}

(c) Seien u, v, w, z ∈ ℂ \ {0} gegeben. Ergänzen Sie die folgende Tabelle und zeichnen Sie die vorkommenden Zahlen in ein Koordinatensystem mit reeller und imaginärer Achse ein.

u  \frac{7}{6}π  \sqrt{12}

v  \frac{π}{2}  \frac{1}{3}

\frac{w}{z}

\frac{1}{v}

Argument

Betrag

Realteil

Imaginärteil w  2  2 z  −\sqrt{3}  1 u · v w^{8}

Aufgabe 22 (2+2+3+3=10 Punkte) Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen über ℂ:

\begin{matrix}(a) z^{2} = −\frac{1}{2}i & (b) z^{2} − 4z + 29 = 0 \\ (c) (3 + i)z^{2} + (−22 + 6i)z + (25 − 25i) = 0 & (d) z^{2} − (2\sqrt{3} + 6i) z + 12\sqrt{3}i = 0 \end{matrix}

Aufgabe 23 (3+5+2=10 Punkte) In dieser Aufgabe betrachten wir einige reelle Polynomgleichungen vom Grad ≥ 3, die über ℂ gelöst werden können.

(a) Lösen Sie die Gleichung

z^{4} + 5z^{2} − 36 = 0 (z ∈ ℂ).

Anleitung: Ersetzen Sie zunächst z^{2} = w. Dann erhalten Sie eine quadratische Gleichung in w, die Sie lösen können. Sie erhalten zwei Lösungen w_{1} und w_{2}. Durch das Lösen von z^{2} = w_{1} und z^{2} = w_{2} erhalten Sie schließlich (bis zu) 4 Lösungen z_{1}, …, z_{4} der ursprünglichen Gleichung. Fassen Sie diese Lösungen in einer Lösungsmenge zusammen.

(b) Lösen Sie die Gleichung

z^{4} − 2z^{2} + 4 = 0 (z ∈ ℂ).

Verfahren Sie dabei wie in (a).

(c) Lösen Sie die Gleichung

z^{4} − 9z^{3} + 16z^{2} + 26z = 0 (z ∈ ℂ).

Anleitung: Finden Sie durch Probieren zwei reelle Lösungen (versuchen Sie −2, −1, 0, 1, 2). Führen Sie dann eine Polynomdivision durch und lösen Sie die verbleibende quadratische Gleichung. Dabei treten dann komplexe Lösungen auf. Fassen Sie alle Lösungen in einer Lösungsmenge zusammen.

Aufgabe 24 (4+6=10 Punkte) Berechnen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrizen. Bestimmen Sie jeweils zu jedem Eigenwert den Eigenraum (d.h. die Menge der Eigenvektoren).

A = ( \begin{matrix}11 & 6 \\ −18 & −10 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}5 & 4 & −2 \\ 4 & 5 & 2 \\ 6 & 6 & 0 \end{matrix} ) .

Abgabe: Freitag, 20.11.2009 vor der Vorlesung