UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 6

Aufgabe 25 (2+2+1+2+3=10 Punkte) Berechnen Sie alle reellen Eigenwerte der folgenden Matrizen. Bestimmen Sie jeweils zu jedem Eigenwert den Eigenraum (d.h. die Menge der Eigenvektoren).

A = ( \begin{matrix}3 & 2 \\ 2 & 6 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & −3 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}0 & −7 \\ −7 & 0 \end{matrix} ) ,

D = ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 0 & 3 & 0 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix} ) , E = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Hinweis: Klammern Sie bei D gemeinsame Faktoren aus Ihren Zwischenergebnissen aus, bevor Sie ausmultiplizieren.

Aufgabe 26 (3+3+4=10 Punkte) Lösen Sie diese Aufgabe, ohne zu rechnen. Greifen Sie stattdessen auf die Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren zurück.

(a) Die zugehörige lineare Abbildung f_{A} : ℝ^{2} → ℝ^{2} einer 2×2-Matrix A ist die Spiegelung am Ursprung. Bestimmen Sie alle reellen Eigenwerte von A. Geben Sie zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor an.

(b) Die zugehörige lineare Abbildung f_{B} : ℝ^{2} → ℝ^{2} einer 2 × 2-Matrix B ist die Drehung um 40^{∘} gegen den Uhrzeigersinn. Bestimmen Sie alle reellen Eigenwerte von B. Geben Sie zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor an.

(c) Die zugehörige lineare Abbildung f_{C} : ℝ^{2} → ℝ^{2} einer 2×2-Matrix C ist die Spiegelung an der x_{2}-Achse. Bestimmen Sie alle reellen Eigenwerte von C. Geben Sie zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor an.

Aufgabe 27 (5+5=10 Punkte) Machen Sie sich vor der Lösung dieser Aufgabe nochmals klar, wie man die Determinate einer oberen Dreiecksmatrix berechnet.

(a) Geben Sie das charakteristische Polynom der Matrix

A = ( \begin{matrix}3 & \sqrt{5} & −3 & 4 \\ 0 & −5 & 10 & −\frac{12}{57} \\ 0 & 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 0 & −10 \end{matrix} )

an (sie sollen nicht ausmultiplizieren) und bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

(b) Was sind generell die Eigenwerte einer oberen Dreiecksmatrix ?

Aufgabe 28 (1+5+4 = 10 Punkte)

(a) Stellen Sie n! (n-Fakultät) mit dem Produkzeichen dar.

(b) Berechnen Sie:

∑_{i=0}^{5} i^{2}, ∑_{k=−2}^{3} sin (\frac{k · π}{2} ) , ∑_{l=4}^{1004} 5, ∏_{n=2}^{5} \frac{n^{2}}{n^{2} + 2n + 1}, ∏_{m=−1}^{3} m^{5}

(c) Rechnen Sie nach, dass (k + 1)^{2} − k^{2} = 2k + 1 für alle k ∈ ℕ gilt. Berechnen Sie damit einen geschlossenen Ausdruck für die Summe

∑_{k=1}^{n}(2k + 1) (n ∈ ℕ fest).

Hinweis: Dies funktioniert genau wie die Rechnung in Beispiel 5.3.

Aufgabe 29 (2+2+3+2+1=10 Punkte)

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert der nachstehenden Folgen (in ℝ oder ±∞).

(i) (\frac{4n^{3}−3n^{2}+4}{−8n^{3}+6n})_{n≥1}
(ii) (\frac{\sqrt{n+5}}{\sqrt{n}+4})_{n∈ℕ}

(b) Betrachten Sie die nachstehenden Folgen. Stellen Sie eine Vermutung auf, ob die Folge konvergiert bzw. uneigentlich konvergiert, und was gegebenenfalls der jeweilige Grenzwert ist (dieser kann in ℝ liegen, aber auch ±∞ sein). Beweisen Sie Ihre Vermutung nur unter Benutzung der Definition von Konvergenz (siehe 5.6). Benutzen Sie also insbesondere nicht die Grenzwertsätze.

(i) ((−1)^{n} · n^{2})_{n∈ℕ} (ii) (\frac{10}{\sqrt{n}})_{n≥1} (iii) (n − n^{2})_{n∈ℕ}

Abgabe: Freitag, 27.11.2009 vor der Vorlesung