UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Johannes Lengler �

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Wintersemester 2009/2010

Blatt 8

Aufgabe 34 (3+3+3+3+4+4=20 Punkte, 2 Bearbeitungspunkte)

(a) Zeigen Sie mit dem Einschachtelungsprinzip, dass die Folge (a_{n})_{n≥1} mit

a_{n} := \frac{2^{n} + n^{2} cos(\frac{π}{n})}{2^{n+1} + 4n − 3}

konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

(b) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(i) ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{n+5}{8n+2} (Hinweis: Leibnizkriterium)

(ii) ∑_{j=0}^{∞} \frac{5^{j}}{j!} (Hinweis: Quotientenkriterium)

(iii) ∑_{m=1}^{∞} \frac{m^{2}+5}{m^{4}+5} (Hinweis: Vergleichen Sie die Reihe mit ∑ \frac{1}{m^{2}} )

(iv) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k+4^{k}}{k^{2}+5^{k}} (Hinweis: Vergleichen Sie die Reihe mit ∑ (\frac{4}{5})^{k})

(v) ∑_{l=0}^{∞} \frac{2l+7}{l^{2}+7l+12} (Hinweis: Finden Sie eine geeignete Reihe, mit der Sie die angegebene Reihe vergleichen können.)

Aufgabe 35 (2+2+2+2+2=10 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte in R ∪ {±∞}, falls diese existieren:

(a) lim_{x→−2} \frac{x^{2} + 3x}{(x + 2)^{2}}  (b) lim_{x→∞} \frac{−2x^{3} + 5x}{4x^{3} − 7x^{2} + 5}  (c) lim_{x→−∞} log (\frac{x^{4} + 2}{x^{3} + 1})

(d) lim_{x→∞} ((\frac{1}{2})^{x} + cos (\frac{2πx + 3}{x − 2})) (e) lim_{x→∞} exp exp exp −x^{2}

Aufgabe 36 (2+2+2+2+2=10 Punkte)

(a) Geben Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktionen

f : D → ℝ; x ↦ c · a^{x}

und

g : D → ℝ; x ↦ c · log_{a}(x)

für die Fälle

(i) c < 0, a > 1, (ii) c > 0, 0 < a < 1, (iii) c < 0, 0 < a < 1

an und skizzieren Sie jeweils den Funktionsgraphen.

(b) Lösen Sie die Gleichungen (i) 13 · 5^{3x} = 4^{x+1} (ii) 3 · 2^{x} = 5^{2x^{2}} (Eine numerische Lösung genügt.) (iii) 2^{(5^{x})} = 7^{(2^{x})} (iv) log(x + 2) = 1 + log(3x)

Aufgabe 37 (5+2+3=10 Punkte) Eine Bakterienkultur besteht zu Anfang aus 20.000 Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich alle 20 Minuten.

(a) Die Anzahl der Bakterien zur Zeit t wird durch die Funktion

f(t) = C · a^{t} (näherungsweise) bestimmt. Die Zeit t soll dabei in Minuten angegeben werden. Bestimmen Sie a und C.

(b) Wieviele Bakterien sind nach 5 Minuten bzw nach 3 Stunden vorhanden?

(c) Wann wird die Anzahl der Bakterien auf den Wert 10^{8} gestiegen sein?

Abgabe: Freitag, 18.12.2009 vor der Vorlesung