UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
Fachrichtung Mathematik
Prof. Dr. Ernst-Ulrich Gekeler
Dipl.-Math. Jochen Frieden

Universität des Saarlandes, Gebäude 27 - Postfach 15 11 50 - D-66041 Saarbrücken



Saarbrücken, den 21. Januar 2003

Seminar Zahlentheorie, SS 2003

$P$-adische Zahlentheorie

Ist $p$ eine Primzahl, so definiert $\vert x\vert _p := p^{-{\rm ord}_p(x)}$ für $0 \not= x \in {\Bbb Q}$ einen Absolutbetrag ``$\vert~\vert _p$'' auf dem Körper ${\Bbb Q}$, der sich vom ``gewöhnlichen'' Absolutbetrag ``$\vert~\vert$'' unterscheidet.

Ähnlich wie ${\Bbb R}$ aus ${\Bbb Q}$ durch Komplettierung bzgl. ``$\vert~\vert$'' entsteht, bildet man den Körper ${\Bbb Q}_p$ der $p$-adischen Zahlen als Komplettierung von ${\Bbb Q}$ bzgl. ``$\vert~\vert _p$''.

Weil in ${\Bbb Q}_p$ jede Cauchy-Folge konvergiert, kann man dort - wie in ${\Bbb R}$ oder ${\Bbb C}$ - analytische Operationen durchführen, etwa Grenzwerte bilden, differenzieren, integrieren. Zum Beispiel gelten in ${\Bbb Q}_p$ Formeln wie

$$\begin{array}{cll} (1-p)^{-1} & = & 1+p+p^2+p^3+ \cdots \qua... ... 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} p^3 - \cdots \quad (p > 2). \end{array}$$

Nach Konstruktion eignen sich die verschiedenen ${\Bbb Q}_p$ gut zur Untersuchung arithmetischer Fragestellungen. Ein markantes Beispiel bildet die Folge der Bernoulli-Zahlen

$$B_k := 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0,-\frac{1}{30},0,\frac{5}{66}, 0,-\frac{691}{2730},\ldots,$$

die sich nach einer leichten Modifikation durch eine stetige (sogar analytische) $p$-adische Funktion interpolieren lässt.

Das Studium dieser $p$-adischen Zeta-Funktionen sowie des benötigten Hintergrunds (Definition und Eigenschaften der $B_k$, Konstruktion von ${\Bbb Q}_p$, $p$-adische Analysis) bildet den Gegenstand des Seminars. Dabei werden wir uns an der Monographie ``Introduction to $p$-adic analytic number theory'' von M.R. Murty orientieren.

An Vorkenntnissen wird neben den Inhalten des Grundstudiums nur die Vorlesung Algebra I vorausgesetzt. Deshalb eignet sich das Seminar auch gut für Studierende der Informatik und LehramtskandidatInnen ab dem vierten Semester.

Vorbesprechung: Dienstag, 18.02.03, 13.c.t., Seminarraum 3

Information: Dipl.-Math. J. Frieden, Zi. 218
Tel.: 2230, frieden@math.uni-sb.de