Prof. Dr. Roland Speicher

Dr. Moritz Weber

Zufallsmatrizen

(Sommersemester 2012)

Aktuelles

Im Rahmen der DMV-Tagung 2012 in Saarbrücken (17.9.-20.9.2012) findet ein Minisymposium
über Freie Wahrscheinlichkeitstheorie und Zufallsmatrizen
statt.


Die schriftlichen Ausarbeitungen der Vorträge von Dienstag, dem 7.8. sind verfügbar:

1.) Beweis des Wignerschen Halbkreisgesetzes für allgemeine Wigner-Matrizen (Badt, Kern)
schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

2.) Konvergenz des größten Eigenwerts (Jung, Schuhmacher)
schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

3.) Längste aufsteigende Teilfolge - RSK-Algorithmus und Verbindung zur Tracy-Widom-
Verteilung (Meyer, Thiel)
schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

Vorlesung

Fr 10-12, in SR5 (215), Geb. E2 4

Zufallsmatrizen sind Matrizen, deren Einträge zufällig ausgewürfelt werden.
Erstaunlicherweise haben viele Fragestellungen über solche Matrizen, insbesondere
über die Struktur der Eigenwerte, eine deterministische (dh. zufallsunabhängige)
Antwort, wenn die Größe der Matrizen gegen unendlich geht.

In den letzten 15 Jahren wurden Zufallsmatrizen in der Mathematik eingehender
untersucht und es hat sich immer mehr herauskristallisiert, dass diese Objekte
eine wichtige Rolle im Schnittpunkt recht verschiedener mathematischer Disziplinen
(Analysis, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie) einnehmen. Ebenso
erstaunlich ist die Bandbreite an Anwendungen von Zufallsmatrizen, wie im Mobilfunk,
in der Datenkompression oder in der Finanzwirtschaft. Zufallsmatrizen schlagen so eine
Brücke von der abstrakten Mathematik der Operatoralgebren zu konkreten Berechnungen
in der drahtlosen Kommunikation.

In dieser zweistündigen Spezialvorlesung wird ein kleiner Eindruck dieser Vielfalt
und der Verquickung von Theorie und Praxis gegeben. Voraussetzung seitens der
Hörer sind nur die Grundvorlesungen in Analysis und linearer Algebra (ein paar
Grundkenntnisse in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie wären auch ganz
hilfreich) sowie die Bereitschaft, sich auf Neues einzulassen.

Ankündigung

Es können auch Bachelor- oder Masterarbeiten im Anschluss an die Vorlesung
vergeben werden.

Projekte für den Scheinerwerb

Ziel der Projekte ist es, sich in ein Thema einzulesen, interessante Fragestellungen zu
isolieren, etwas die Theorie dazu zu lernen und nach Möglichkeit auch ein paar numerische
Simulationen durchzuführen. Es soll eine schriftliche Ausarbeitung des Themas abgegeben
und ein kleiner Vortrag (etwa 30 Minuten, bei Bearbeitung zu zweit: insgesamt etwa 40
Minuten) über das Projekt gehalten werden.

Es besteht die Möglichkeit, ein Thema zu zweit zu bearbeiten. Die Ausarbeitung kann dabei
gemeinsam erstellt werden, allerdings muss jeder der beiden Bearbeiter einen Vortrag halten.

Bei Bedarf können die Projekte auch benotet werden.

Eine Übersicht über die Themenvorschläge zum ersten Themenkreis der Vorlesung findet sich
hier. Sie sind recht allgemein gehalten, der genaue Inhalt des Projektes wird nach einer ersten
Einarbeitung gemeinsam mit dem Dozenten festgelegt. Die angegebene Literatur dient nur
zur ersten Orientierung.

Folgende Vorträge wurden am Dienstag, dem 7.8. gehalten:

1.) Beweis des Wignerschen Halbkreisgesetzes für allgemeine Wigner-Matrizen (Badt, Kern)
schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

2.) Konvergenz des größten Eigenwerts (Jung, Schuhmacher)
schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

3.) Längste aufsteigende Teilfolge - RSK-Algorithmus und Verbindung zur Tracy-Widom-
Verteilung (Meyer, Thiel)
schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

Matlab

Die Matlab-Funktionen der Vorlesung vom 22.6. finden sich hier. Sollte es Probleme
beim Öffnen der Dateien geben, bitte bei Moritz Weber melden.
Das Programm Matlab kann hier heruntergeladen werden (nachdem man sich kostenlos
registriert hat).

Links zu anderen Vorlesungen über Zufallsmatrizen

Vorlesung von Prof. Dr. Folkmar Bornemann, TU München, SoSe 2011
Vorlesung von Terence Tao, UCLA, winter quarter 2010
Vorlesung von Alan Edelman, MIT, SoSe 2012
Vorlesung von Todd Kemp, UC San Diego, SoSe 2011 (falscher Titel auf der Homepage)

Literatur

Gernot Akemann, Jinho Baik, Philippe Di Francesco, The Oxford Handbook of Random
Matrix Theory
, Oxford Handbooks in Mathematics, 2011

Greg Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni, An Introduction to Random Matrices,
Cambridge University Press 2010

Zhidong Bai, Jack Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices,
Springer-Verlag 2010

Percy Deift, Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann-Hilbert Approach,
Courant Lecture Notes 3, Amer. Math. Soc. 1999

Percy Deift, Dimitri Gioev, Random Matrix Theory: Invariant Ensembles and Universality,
Courant Lecture Notes 18, Amer. Math. Soc. 2009

Alan Edelman, Raj Rao, Random matrix theory, Acta Numer. 14 (2005), 233-297

Alan Edelman, Raj Rao, The polynomial method for random matrices,
Found. Comput. Math. 8 (2008), 649-702

Alice Guionnet, Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics,
Springer-Verlag 2009

Madan Lal Mehta, Random Matices, Elsevier Academic Press 2004

Alexandru Nica, Roland Speicher, Lectures on the Combinatorics of Free Probability,
Cambridge University Press 2006

Antonia Tulino, Sergio Verdú, Random matrix theory and wireless communication,
Found. Trends Comm. Information Theory 1 (2004), 1-182



Aktualisiert am: 13. August 2012  Moritz Weber