s Freie Wahrscheinlichkeit Lehre

Dr. Moritz Weber

Funktionalanalysis

(Wintersemester 2013/2014)

Vorlesung

Di und Do 8-10, im HS IV

In vielen Bereichen der Mathematik verhalten sich Vorgänge in etwa wie Funktionen,
die man aus der Analysis I-III kennt. In der Funktionalanalysis weiten wir unser Denken
nun auf unendlich-dimensionale Räume aus. Im Zentrum stehen dabei lineare Abbildungen
zwischen diesen Räumen sowie deren (verallgemeinerte) Eigenwerte und deren
Diagonalisierung. Insofern kommen in der Funktionalanalysis Methoden aus der linearen
Algebra und der Analysis zusammen, aber auch die Toplogie und die Algebra spielen eine
Rolle.
Ein wichtiges Merkmal der Funktionalanalysis ist außerdem, dass sie auch nichtkommutative
Strukturen von "Funktionen" untersucht. So wird eine Mathematik entwickelt, bei der für
zwei Funktionen f und g nicht mehr notwendigerweise fg = gf gilt. Das ergibt eine Art
"nichtkommutativer Toplogie bzw. Maßtheorie" und somit Werkzeuge, die beispielsweise
für die Quantenmechanik unverzichtbar sind.

Wir werden in dieser Vorlesung unendlich-dimensionale Vektorräume mit Topologien
versehen und u.a. die Sätze von Hahn-Banach und Baire beweisen. Banach- und
Hilberträume sowie Operatoren auf ihnen werden eingeführt und deren Spektraltheorie
studiert. Es werden erste operatoralgebraische Aspekte behandelt, wie Banach- oder
C*-Algebren.

In dem Seminar zu Operatoren auf Hilberträumen kann der Stoff vorlesungsbegleitend
vertieft werden.

Kenntnisse in der linearen Algebra und der Analysis werden vorausgesetzt. Die Vorlesung
ist 4-stündig und eine Übung wird angeboten, so dass 9 Leistungspunkte erworben werden
können.

Bei Fragen zur Vorlesung gerne an Moritz Weber wenden.

Skript

Vorwort
Kapitel 1
Kapitel 2        Artikel zu Varianten und Anwendungen des Hahn-Banach-Satzes
Kapitel 3
Kapitel 4
Kapitel 5
Kapitel 6
Kapitel 7
Kapitel 8
Kapitel 9
Kapitel 10
Kapitel 11

Scheinvoraussetzungen

Durch regelmäßige Teilnahme an den Übungen und Erreichen von mindestens 50% der
Gesamtpunktzahl auf den Übungsblättern, wird die Zulassung zur mündlichen Prüfung
erworben. Das Bestehen dieser Prüfung ist die Voraussetzung für den Schein.


Übung


Literatur

John Conway, A course in Functional analysis, Springer, 1990
Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis,
                                                                                                 Spektrum akademischer Verlag, 1996
Reinhold Meise und Dietmar Vogt, Einführung in die Funktionalanalysis, vieweg, 1992
Gert Pedersen, Analysis Now, Springer, 1989



Aktualisiert am: 5. Mai 2014   Moritz Weber Impressum