Einige Formeln

Daraus ergeben sich die folgenden Formeln: Sind X und Ymatrixnormierte Räume, $n\in{\mathbb{N} }$, $y\in M_n(Y)$ und $T\in\mathit{CB}(X,Y)$, so ist

$$\Vert y\Vert=\sup\left\{\Vert\Phi(y)\Vert\;\vert\;n\in{\mathb... ...thbb{M} }_n),\;\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}\leqslant 1\right\}$$

und

$$\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\sup\{\Vert\Phi^{(n)}\circ T\Vert... ...M} }_n),\; \Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}}\leqslant 1\} \mbox{.}$$

Eine Matrix $[T_{ij}]\in M_n(X^*)$ definiert einen Operator

$$\begin{eqnarray*}T:M_n(X)&\to&{\mathbb{C} }\\ \left[x_{ij}\right]&\mapsto&\sum_{i,j}T_{ij}x_{ij} \mbox{.} \end{eqnarray*}$$

Dadurch ist eine algebraische Identifizierung von M_n(X^*) mit M_n(X)^* und weiter von M_n(X^**) mit M_n(X)^** gegeben. Letztere stellt sich sogar als vollständige Isometrie heraus ([Ble92b, Cor. 2.14], für die Isometrie auf der Grundstufe vgl. [Ble92a, Thm. 2.5]¹⁰):

$${\mathbb{M} }_n(X^{**})\stackrel{\mathrm{cb}}{=}{\mathbb{M} }_n(X)^{**} \mbox{.}$$

Daraus folgt¹¹

$$\mathit{CB}({\mathbb{M} }_n(X)^*,Y)\stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CB}(X^*,{\mathbb{M} }_n(Y)) \mbox{.}$$

X heißt  reflexiv, falls $X \stackrel{\mathrm{cb}}{=}X^{**}$ ist. Ein   Operatorraum X ist genau dann reflexiv, falls seine erste Stufe M₁(X) als Banachraum reflexiv ist.