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Der adjungierte Operator

Zu $T\in\mathit{CB}(X,Y)$ kann man wie üblich einen   adjungierten Operator T* erklären. Es gilt: $T^*\in \mathit{CB}(Y^*,X^*)$, und $\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert T^*\Vert _{\mathrm{cb}}$. Die Abbildung

\begin{eqnarray*}{}^*:\mathit{CB}(X,Y) &\to& \mathit{CB}(Y^*,X^*)\\
T&\mapsto& T^*
\end{eqnarray*}


ist sogar vollständig isometrisch [Ble92b, Lemma 1.1].12

T* ist genau dann eine     vollständige Quotientenabbildung, wenn T   vollständig isometrisch ist; T* ist vollständig isometrisch, wenn T eine vollständige Quotientenabbildung ist. Speziell gilt für einen Teilraum $X_0\subset X$ [Ble92a]:

\begin{displaymath}X_0^*\stackrel{\mathrm{cb}}{=}X^*/X_0^{\perp}\end{displaymath}

und, falls X0 abgeschlossen ist,

\begin{displaymath}(X/X_0)^*\stackrel{\mathrm{cb}}{=}X_0^{\perp} \mbox{.}\end{displaymath}



Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04