Faktorisierung durch den Spalten-Hilbertraum

Seien X, Y Operatorräume. Wir sagen, eine lineare Abbildung $T:M_1(X) \rightarrow M_1(Y)$    faktorisiere durch einen Spalten-Hilbertraum , wenn es einen Hilbertraum $\mathcal{H}$und vollständig beschränkte Abbildungen $T_2:X \rightarrow {\mathcal{C}}_\mathcal{H}$, $T_1: {\mathcal{C}}_\mathcal{H}\rightarrow Y$ gibt mit $T=T_1 \circ T_2$. Wir definieren

$$\gamma_2(T) := \inf \Vert T_1\Vert _{\mathrm{cb}} \Vert T_2\Vert _{\mathrm{cb}},$$

wobei das Infimum über alle Faktorisierungen gebildet wird, und   $\gamma_2(T) := \infty$, falls keine solche Faktorisierung existiert.   $\Gamma_2(X,Y)$ bezeichne den Banachraum aller linearen Abbildungen $T:X\rightarrow Y$ mit $\gamma_2(T) < \infty$[ER91, Chap. 5],[Ble92b, p. 83].

Seien noch X₁, Y₁ Operatorräume und $T \in \Gamma_2(X,Y)$, $S \in \mathit{CB}(X_1,X)$, $R \in \mathit{CB}(Y,Y_1)$, so gilt die $\mathit{CB}$-Idealeigenschaft 

$$\gamma_2(RTS) \leq \Vert R\Vert _\mathrm{cb}\gamma_2(T) \Vert S\Vert _\mathrm{cb}\mbox{.}$$

Eine Matrix $T=[T_{ij}] \in M_n(\Gamma_2(X,Y))$ wird als Abbildung von X nach M_n(Y) gelesen: [T_ij](x):=[T_ij(x)]. T besitzt eine Faktorisierung in vollständig beschränkte Abbildungen

$$X \stackrel{T_2}{\rightarrow} M_{1,n}({\mathcal{C}}_\mathcal{H}) \stackrel{T_1}{\rightarrow} M_n(Y).$$

Wir definieren wieder

$$\gamma_2(T) := \inf \Vert T_1\Vert _{\mathrm{cb}} \Vert T_2\Vert _{\mathrm{cb}}\mbox{,}$$

wobei das Infimum über alle Faktorisierungen gebildet wird, und erhalten so eine Operatorraumstruktur auf $\Gamma_2(X,Y)$ [ER91, Cor. 5.4].

Seien X, Y Operatorräume und Y₀ ein Operatorunterraum von Y. Dann ist die Einbettung $\Gamma_2(X,Y_0) \hookrightarrow \Gamma_2(X,Y)$vollständig isometrisch [ER91, Prop. 5.2].

Seien X, Y Operatorräume. Bekanntlich definiert jede lineare Abbildung

$$T : X \rightarrow Y^*$$

ein lineares Funktional

$$f_T:Y \otimes X \rightarrow {\mathbb{C} }$$

über

$$\langle f_T, y \otimes x \rangle := \langle T(x),y \rangle\mbox{.}$$

Über diese Identifikation erhalten wir die vollständige Isometrie [ER91, Thm. 5.3] [Ble92b, Thm. 2.11]

$$\Gamma_2(X,Y^*) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}(Y \otimes_{h}X)^* \mbox{.}$$

Seien X, Y, Z Operatorräume. Wir erhalten eine vollständige Isometrie

$$\Gamma_2(Y\otimes_{h}X, Z) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\Gamma_2(X,\Gamma_2(Y,Z))$$

über die Abbildung $T \mapsto \widetilde{T}$, gemäß $\widetilde{T}(x)(y):=T(y \otimes x)$[ER91, Cor. 5.5].