Multiplikative Strukturen

Für eine abstrakte   C^*-Algebra liefert die GNS-Konstruktion eine konkrete Darstellung ihrer Elemente als beschränkte Operatoren auf einem Hilbertraum. Im nicht-selbstadjungierten Fall gibt es bislang in der Theorie der Banachalgebren kein entsprechendes Resultat. Versieht man aber diese nicht-selbstadjungierten Algebren mit einer mit der Multiplikation verträglichen Operatorraum-Struktur, so ist eine Darstellung als Operatoralgebra in ${B(\mathcal{H})}$ möglich ( Satz vom Ruan-Typ für Operatoralgebren).

Auch die sog. Operatormoduln (über Operatoralgebren) werden durch Axiome vom Ruan-Typ charakterisiert; an die Stelle skalarer Matrizen treten nun solche mit Einträgen aus den Algebren. Die zugehörigen Morphismen sind hier die vollständig beschränkten Modulhomomorphismen , deren wichtigste Eigenschaften in Darstellungs-, Zerlegungs- und Fortsetzungssätzen  zutage treten ¹⁵ .