Operatoralgebren

Analog zu konkreten Operatorräumen definiert man (vgl. [BRS90, Def. 1.1]):     Eine Operatoralgebra ist eine abgeschlossene, nicht notwendig   selbstadjungierte Unteralgebra X in ${B(\mathcal{H})}$, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum.

  Beispiel: Für selbstadjungierte X gibt es die Theorie der   C^*-Algebren.

Entsprechend dem Operatorraum-Fall kann man aber auch umgekehrt Banachalgebren betrachten, die zugleich Operatorräume sind und eine dieser Struktur adäquate Multiplikation tragen. Diese liefern eine abstrakte Charakterisierung der (konkreten) Operatoralgebren ( s.u. : Analogon zum Satz von Ruan).

Sind $X\mbox{,}Y\mbox{,}Z$ Operatorräume, $\Phi: X \times Y \rightarrow Z$ bilinear, so definiert (vgl.: Amplifikation bilinearer Abbildungen)

$$\begin{eqnarray*}\Phi^{(n,l)}:M_{n,l}(X) \times M_{l,n}(Y) & \rightarrow & M_n(Z... ...um_{j=1}^{l} \Phi(x_{ij},y_{jk})\right] ~ (n \in {\mathbb{N} }) \end{eqnarray*}$$

eine bilineare Abbildung, die   bilineare Amplifikation¹⁷ von $\Phi$.

$\Phi$ heißt   vollständig beschränkt, falls $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} := {\sup}_n \Vert\Phi^{(n,n)}\Vert< \infty$, und vollständig kontraktiv, falls $\Vert\Phi\Vert _{\mathrm{cb}} \le 1$.¹⁸ Man beachte bei dieser Definition auch den Zugang in: Vollständig beschränkte bilinearen Abbildungen .

[Bei Banachalgebren mit Eins e soll fortan $\Vert e\Vert=1$ gelten.] Ein Operatorraum $(X,\Vert\cdot\Vert _n)$ mit bilinearer, vollständig kontraktiver, assoziativer Abbildung $m: ~ X \times X \rightarrow X$, der Multiplikation, heißt   abstrakte Operatoralgebra (vgl. [BRS90, Def. 1.4]). Dabei ist auf M_n(X) die Verknüpfung gerade die   Matrizenmultiplikation m_n.
Im unitalen Fall ist m automatisch assoziativ [BRS90, Cor. 2.4].

Es gilt ein  Analogon zum     Satz von Ruan ([Ble95, Thm. 2.1], vgl. auch [BRS90, Thm. 3.1]): Sei A unitale Banachalgebra und Operatorraum. Dann ist A vollständig isometrisch isomorph zu einer Operatoralgebra genau dann, wenn die Multiplikation auf A vollständig kontraktiv ist.

Hieraus folgert man die Stabilitätsaussage: Der Quotient einer Operatoralgebra mit einem abgeschlossenen     Ideal ist wiederum eine Operatoralgebra [BRS90, Cor. 3.2].
Mit Hilfe dessen gewinnt man das Resultat: Die Klasse der Operatoralgebren ist stabil unter komplexer Interpolation [BLM95, (1.12), p. 320].

Allgemeiner als im obigen Satz vom Ruan-Typ gilt [Ble95, Thm. 2.2]: Sei A Banachalgebra und Operatorraum. Dann ist A vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra genau dann, wenn die Multiplikation auf A vollständig beschränkt ist. (Vgl. die Beispiele !)

Für einen Operatorraum X ist die Algebra $\mathit{CB}(X)$ zwar stets eine Banachalgebra, im allgemeinen jedoch keine Operatoralgebra. Genauer gilt für einen Operatorraum X folgendes Kriterium [Ble95, Thm. 3.4]: $\mathit{CB}(X)$ mit der Komposition als Multiplikation ist vollständig isomorph zu einer Operatoralgebra genau dann, wenn X vollständig isomorph zu einem Spalten-Hilbertraum ist. - Analoges besteht für den isometrischen Fall; will sagen:

$$\mathit{CB}(X) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}B(\mathcal{H})\mbox{.}$$

Seien $A \subset B(\mathcal{H})$ und $B \subset B(\mathcal{K})$ ( $\mathcal{H}$, $\mathcal{K}$ Hilberträume) Operatoralgebren, wobei ${{\mathbb{1} }}_{B(\mathcal{H})} \in A$, ${{\mathbb{1} }}_{B(\mathcal{K})} \in B$. Dann ist jede unitale vollständige Isometrie $\varphi: A \rightarrow B$ bereits ein   Algebrenhomomorphismus [ER90b, Prop. 3.1]. Man beachte, daß hierbei die Normabgeschlossenheit der Operatoralgebren A und B wesentlich ist.