Operatorraum-Tensorprodukte

Ein Operatorraum-Tensorprodukt entsteht durch Vervollständigung des algebraischen Tensorproduktes bezüglich einer Operatorraum-Tensornorm.  

 Eine Operatorraum-Tensornorm $\Vert\cdot\Vert _\alpha$ versieht für jedes Paar (X,Y) von Operatorräumen das algebraische Tensorprodukt $X \otimes Y$ mit der Struktur eines matrixnormierten Raumes , so daß die nachstehenden zwei Eigenschaften gelten [BP91, Def. 5.9].

Der durch Vervollständigung entstehende Operatorraum heißt $\alpha$- Operatorraum-Tensorprodukt von X und Y und wird mit $X \otimes_\alpha Y$ bezeichnet.

1.

 Für die komplexen Zahlen gilt

$${\mathbb{C} }\otimes_\alpha {\mathbb{C} }= {\mathbb{C} }.$$

2.

   Für alle $S \in \mathit{CB}(X_1,X_2)$ und $T \in \mathit{CB}(Y_1,Y_2)$ hat der Operator $S \otimes T : X_1 \otimes Y_1 \rightarrow X_2 \otimes Y_2$ eine stetige Fortsetzung

$$S \otimes_\alpha T \in \mathit{CB}(X_1 \otimes_\alpha Y_1, X_2 \otimes_\alpha Y_2).$$

Die bilineare Abbildung

$$\begin{eqnarray*}\otimes_\alpha : \mathit{CB}(X_1,X_2) \times \mathit{CB}(Y_1,Y_... ...X_2 \otimes _\alpha Y_2)\\ (S,T) &\mapsto& S \otimes_\alpha T \end{eqnarray*}$$

ist allgemein vollständig kontrahierend . ²²

 Man kann die Forderung 2 durch die Forderungen 3 und 4 ersetzen.²³

3.

  Ein Operatorraum-Tensorprodukt $\otimes_{\alpha}$ ist funktoriell: Für alle $S \in \mathit{CB}(X_1,X_2)$ und $T \in \mathit{CB}(Y_1,Y_2)$ hat der Operator $S \otimes T : X_1 \otimes Y_1 \rightarrow X_2 \otimes Y_2$ eine stetige Fortsetzung

$$S \otimes_\alpha T \in \mathit{CB}(X_1 \otimes_\alpha Y_1, X_2 \otimes_\alpha Y_2),$$

und es gilt

$$\Vert S \otimes_\alpha T \Vert _\mathrm{cb}\leq \Vert S\Vert _\mathrm{cb}\Vert T\Vert _\mathrm{cb}.$$

Anmerkung: Dann gilt sogar $\Vert S \otimes_\alpha T \Vert _\mathrm{cb}=\Vert S\Vert _\mathrm{cb}\Vert T\Vert _\mathrm{cb}$.

4.

  Der algebraische shuffle -Isomorphismus $M_p(X) \otimes M_q(Y) \cong M_{pq}(X \otimes Y)$ hat eine stetige Fortsetzung

$${\mathbb{M} }_p(X) \otimes_\alpha {\mathbb{M} }_q(Y) \rightarrow {\mathbb{M} }_{pq}(X \otimes_\alpha Y).$$

Diese       shuffle -Abbildung des Operatorraum-Tensorproduktes ist vollständig kontrahierend.

Äquivalent zu 4 ist, daß die beiden shuffle-Abbildungen

$$\begin{eqnarray*}{\mathbb{M} }_p(X) \otimes_\alpha Y &\rightarrow& {\mathbb{M... ...bb{M} }_q(Y) &\rightarrow& {\mathbb{M} }_q(X \otimes_\alpha Y) \end{eqnarray*}$$

vollständig kontrahierend sind.

Operatorraum-Tensorprodukte können noch weitere spezielle Eigenschaften haben:

Ein Operatorraum-Tensorprodukt $\otimes_{\alpha}$ heißt

   symmetrisch, wenn $X \otimes_\alpha Y \stackrel{\mathrm{cb}}{=}Y \otimes_\alpha X$ eine vollständige Isometrie ist;

   assoziativ, wenn $(X \otimes_\alpha Y) \otimes_\alpha Z \stackrel{\mathrm{cb}}{=}X \otimes_\alpha (Y \otimes_\alpha Z)$ eine vollständige Isometrie ist;

   injektiv, wenn für alle Unterräume $X_1 \subset X$, $Y_1 \subset Y$ die Abbildung $X_1 \otimes_\alpha Y_1 \hookrightarrow X \otimes_\alpha Y$ eine vollständige Isometrie ist;

   projektiv, wenn für alle Unterräume $X_1 \subset X$, $Y_1 \subset Y$ die Abbildung $X \otimes_\alpha Y \rightarrow X/X_1 \otimes_\alpha Y/Y_1$ eine vollständige Quotientenabbildung ist;

   selbstdual, wenn die algebraische Einbettung $X^* \otimes Y^* \subset (X \otimes_\alpha Y)^*$ eine vollständige isometrische Fortsetzung $X^* \otimes_\alpha Y^* \subset (X \otimes_\alpha Y)^*$ hat.

In vielen Anwendungen tritt die Haagerup -Tensorprodukt auf. Es ist nicht symmetrisch, aber assoziativ, injektiv, projektiv und selbstdual.