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Operatorraum-Tensorprodukte
Ein Operatorraum-Tensorprodukt entsteht durch Vervollständigung des
algebraischen Tensorproduktes bezüglich einer
Operatorraum-Tensornorm.
Eine
Operatorraum-Tensornorm
versieht für jedes Paar (X,Y) von Operatorräumen das algebraische Tensorprodukt
mit der Struktur eines
matrixnormierten Raumes ,
so daß die nachstehenden zwei Eigenschaften gelten
[BP91, Def. 5.9].
Der durch Vervollständigung entstehende Operatorraum
heißt
- Operatorraum-Tensorprodukt
von X und Y und wird mit
bezeichnet.
- 1.
- Für die komplexen Zahlen gilt
- 2.
-
Für alle
und
hat der Operator
eine stetige Fortsetzung
Die bilineare Abbildung
ist
allgemein vollständig kontrahierend .
22
-
- Man
kann die Forderung
2 durch die Forderungen
3 und
4 ersetzen.23
- 3.
-
Ein Operatorraum-Tensorprodukt
ist funktoriell:
Für alle
und
hat der Operator
eine stetige Fortsetzung
und es gilt
-
- Anmerkung: Dann
gilt sogar
.
- 4.
-
Der algebraische
shuffle -Isomorphismus
hat eine stetige Fortsetzung
Diese
shuffle -Abbildung des
Operatorraum-Tensorproduktes ist vollständig kontrahierend.
Äquivalent zu 4 ist, daß die beiden
shuffle-Abbildungen
vollständig kontrahierend sind.
Operatorraum-Tensorprodukte
können noch weitere spezielle Eigenschaften haben:
Ein Operatorraum-Tensorprodukt
heißt
-
-
symmetrisch,
wenn
eine vollständige Isometrie ist;
-
-
assoziativ,
wenn
eine vollständige Isometrie ist;
-
-
injektiv,
wenn für alle Unterräume
,
die
Abbildung
eine vollständige Isometrie ist;
-
-
projektiv,
wenn für alle Unterräume
,
die
Abbildung
eine vollständige Quotientenabbildung ist;
-
-
selbstdual,
wenn die algebraische
Einbettung
eine vollständige isometrische Fortsetzung
hat.
In vielen Anwendungen tritt die
Haagerup -Tensorprodukt auf.
Es ist nicht symmetrisch, aber assoziativ, injektiv,
projektiv
und selbstdual.
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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04