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Projektives Operatorraum-Tensorprodukt

 

Das  projektive Operatorraumtensorprodukt wird durch die universelle Eigenschaft [BP91, Def. 5.3]

\begin{displaymath}\mathit{CB}(X \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}Y,Z) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{JCB}(X \times Y; Z)
\end{displaymath}

charakterisiert. Dabei ist $\mathit{JCB}(X \times Y; Z)$ der Operatorraum der allgemein vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen.

Der Dual des projektiven Operatorraumtensorproduktes ist also der Raum der allgemein vollständig beschränkten Bilinearformen:

\begin{displaymath}(X \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}Y)^* \stackrel...
...athit{CB}(X,Y^*) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CB}(Y,X^*).
\end{displaymath}

Ein expliziter Ausdruck für die projektive Operatorraum-Tensornorm   von $u \in M_n(X\otimes Y)$ ist (vgl. [ER91, Formel (2.10)])

\begin{displaymath}\Vert u\Vert _\wedge =
\inf\left\{
\Vert\alpha\Vert \Vert ...
...ert\beta\Vert
\ :\
u = \alpha(x \otimes y)\beta \right\},
\end{displaymath}

wobei $p,q \in {\mathbb{N} }$, $x \in M_p(X)$, $y\in M_q(Y)$ und $\alpha \in M_{n,pq}$, $\beta \in M_{pq,n}$ sind.

Die projektive Operatorraum-Tensornorm ist symmetrisch , assoziativ und projektiv [ER91, p. 262]. Sie ist aber nicht injektiv .

Die projektive Operatorraum-Tensornorm ist die größte Operatorraum-Norm, die eine Kreuznorm ist [BP91, Thm. 5.5].

Ihre duale Norm ist die injektive Operatorraum-Tensornorm [BP91, Thm. 5.6]; i.a. ist aber die projektive Operatorraum-Tensornorm nicht dual zur injektiven Operatorraum-Tensornorm, selbst wenn einer der Räume endlichdimensional ist [ER90a, p. 168], [ER91, p. 264].



 

Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04