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Allgemein vollständige Beschränktheit

  Es seien X, Y, Z Operatorräume. Eine bilineare Abbildung $\Phi: X \times Y \rightarrow Z$ heißt  allgemein vollständig beschränkt [BP91, Def. 5.3 (jointly completely bounded)], wenn die Normen der allgemeinen Amplifikationen von $\Phi$ gleichmäßig beschänkt sind:

\begin{displaymath}\Vert\Phi\Vert _\mathrm{jcb}:=
\sup \Vert \Phi^{(p \times q)}(x \otimes y)\Vert < \infty,
\end{displaymath}

wobei $p,q \in {\mathbb{N} }$, $x \in \mathrm{Ball}(M_p(X))$, $y \in \mathrm{Ball}(M_q(Y))$ sind [BP91, Def. 5.3]. Die Norm $\Vert\Phi\Vert _\mathrm{jcb}$ ist gleich der Norm $\Vert\tilde\Phi\Vert _\mathrm{cb}$ der Linearisierung

\begin{displaymath}\tilde\Phi : X \stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{\otimes}Y \rightarrow Z
\end{displaymath}

auf dem projektiven Operatorraum-Tensorprodukt.

$\mathit{JCB}(X \times Y; Z)$  bezeichnet den Operatorraum der allgemein vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen. Die Matrizenstufen werden durch die Identifizierung

\begin{displaymath}M_n(\mathit{JCB}(X \times Y;Z)) = \mathit{JCB}(X \times Y; {\mathbb{M} }_n(Z))
\end{displaymath}

normiert.

Es gilt vollständig isometrisch

\begin{displaymath}\mathit{JCB}(X \times Y;Z) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{C...
...Z)) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{CB}(Y,\mathit{CB}(X,Z)).
\end{displaymath}

Durch Transposition     $\Phi^t(y,x) := \Phi(x,y)$ erhält man eine vollständige Isometrie von $\mathit{JCB}(X \times Y; Z)$ mit $\mathit{JCB}(Y \times X; Z)$.



Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04