Eine bilineare Abbildung
,
heißt vollständig beschränkt, wenn
Die Norm
ist gleich der Norm
der Linearisierung
Ferner
bilden wir die Normen
über die
tensoriellen Matrixprodukte
aller39
rechteckigen Matrizen mit n Zeilen bzw. n Spalten:
Es gilt
Eine Bilinearform ist bereits vollständig beschränkt, wenn ist. Dann ist . 40
bezeichnet den Operatorraum der vollständig
beschränkten bilinearen Abbildungen.
Die Matrizenstufen werden durch die Identifizierung
Den vollständig beschränkten bilinearen Abbildungen entsprechen die
vollständig beschränkten linearen Abbildungen des
Haagerup-Tensorproduktes .
Es gilt vollständig isometrisch
Vollständig beschränkte bilineare Abbildungen sind allgemein vollständig beschränkt. Die Einbettung ist vollständig kontrahierend.
Die Transponierte einer vollständig beschränkten bilinearen Abbildung ist im allgemeinen nicht vollständig beschränkt. 41 Für vollständig beschränkte bilineare (und allgemeiner multilineare) Abbildungen gibt es Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von Stinespring.