Darstellung

Vollständig beschränkte Bilinearformen wurden zuerst auf C^*-Algebren A, B untersucht [EK87]. Für eine Bilinearform $\Phi : A \times B \rightarrow {\mathbb{C} }$ sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

(1)

$\Phi$ ist vollständig beschränkt.

(2)

Es gibt eine Konstante c, so daß

$$\mbox{$ \vert\sum_{j=1}^l \Phi(a_j, b_j)\vert \leq c\, \Ve... ...\frac{1}{2} \Vert\sum_{j=1}^l b_j^* b_j\Vert^\frac{1}{2} $ }$$

für alle $l \in {\mathbb{N} }$, $a_j \in A$, $b_j \in B$ gilt.

(3)

Es gibt eine Konstante c und Zustände $\omega \in S(A)$, $\rho \in S(B)$, so daß

$$\mbox{$ \vert \Phi(a, b)\vert \leq c\, \omega(a a^*)^\frac{1}{2} \rho(b^* b)^\frac{1}{2} $ }$$

für alle $a \in A$, $b \in B$ gilt.

(4)

Es gibt ^*-Darstellungen $\pi_\omega : A \rightarrow B(\mathcal{H}_\omega)$ und $\pi_\rho : A \rightarrow B(\mathcal{H}_\rho)$ mit zyklischen Vektoren $\xi_\omega \in \mathcal{H}_\omega$, $\xi_\rho \in \mathcal{H}_\rho$ und einen Operator $T \in B(\mathcal{H}_\omega, \mathcal{H}_\rho)$, so daß $\Phi(a,b) = \langle T \pi_\omega(a) \xi_\omega, \pi_\rho(b) \xi_\rho \rangle$ für alle $a \in A$, $b \in B$ gilt.

Man kann $c = \Vert T\Vert = \Vert\Phi\Vert _\mathrm{cb}$ und $\Vert\xi_\omega\Vert = \Vert\xi_\rho\Vert = 1$ wählen. ⁴²