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Modul-Haagerup-Tensorprodukt

Sei X ein rechter Operatormodul über einer C*-Algebra A, Y ein linker A-Operatormodul, W ein Operatorraum. Eine bilineare Abbildung $ \Psi : X \times Y \rightarrow W$ heißt ausgeglichen, wenn gilt:

\begin{displaymath}\Psi (x \cdot a, y) = \Psi(x,a \cdot y)\end{displaymath}

für alle $x \in X, y \in Y, a \in A$.

Unter dem  Modul-Haagerup-Tensorprodukt versteht man den bis auf vollständige isometrische Isomorphie eindeutig bestimmten Operatorraum $ X \otimes_{hA} Y$ mit einer bilinearen, vollständig kontrahierenden, ausgeglichenen Abbildung

\begin{displaymath}\otimes_{hA} : X \times Y \rightarrow X \otimes_{hA} Y,\end{displaymath}

so daß gilt: Für jede bilineare, vollständig beschränkte, ausgeglichene Abbildung

\begin{displaymath}\Psi : X \times Y \rightarrow W\end{displaymath}

existiert eine eindeutig bestimmte lineare, vollständig beschränkte Abbildung

\begin{displaymath}\widetilde{\Psi} : X \otimes_{hA} Y \rightarrow W\end{displaymath}

mit $\widetilde{\Psi} \circ \otimes_{hA} = \Psi$ und $\Vert \widetilde{\Psi} \Vert _{\mathrm{cb}} = \Vert \Psi \Vert _{\mathrm{cb}}$.

Das Modul-Haagerup-Tensorprodukt läßt sich auf verschiedene Weise realisieren:

1.
Sei

\begin{displaymath}N := \mathrm{lin} \{ (x \cdot a) \otimes y - x \otimes (a \cdot y) \mid a
\in A, x \in X,
y \in Y\}\mbox{.}\end{displaymath}

Der Quotient $(X \otimes_h Y) \big/ \overline{N}$ wird mit seinen kanonischen Matrixnormen zu einem Operatorraum, der die Definition von $ X \otimes_{hA} Y$ erfüllt [BMP].
2.
Es bezeichne $X \otimes_A Y$ das algebraische Modul-Tensorprodukt, d.h. den Quotienten $(X \otimes_{\mathrm{alg}} Y) \big{/}N$. Für $n\in{\mathbb{N} }$ und $ u \in M_n(X \otimes_A Y)$ definiert

\begin{displaymath}p_n(u) := \inf \left \{ \Vert S\Vert \Vert T\Vert \left\vert
...
...mathbb{N} }, S \in M_{nl}(X), T \in M_{ln}(Y) \right. \right\}
\end{displaymath}

eine Halbnorm auf $M_n( X \otimes_A Y)$. Es gilt: Kern(pn) = Mn(Kern(p1)), und die Seminormen pn induzieren eine Operatorraumnorm auf $(X \otimes_A Y) / \mathrm{Kern}(p_1)$ [Rua89]. Die Vervollständigung dieses Raumes erfüllt die Definition von $ X \otimes_{hA} Y$ [BMP].


Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04