Sei K eine m-konvexe Menge in V. Dann heißt strukturelles Element52 von Kn, wenn in allen eigentlichen m-Konvexkombinationen die Elemente unitär äquivalent zu x sind [Fis96]. Die Menge der strukturellen Elemente von Kn heiße str(Kn). Die Menge der strukturellen Elemente von K ist die Menge von Matrizen über V , die aus str(Kn) für alle besteht.
Beispiel:
Sei L ein Operatorsystem. Der verallgemeinerter Zustandsraum von L ist
die m-konvexe Menge
CS(L) im Dual L*, die aus den Matrixzuständen
Sei V ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Mn(V) werde mit der Produkttopologie ausgestattet. Der matrixkonvexe Satz von Krein-Milman lautet nun: Sei K eine kompakte m-konvexe Menge in V. Dann ist K gleich der abgeschlossenen m-konvexen Hülle der Menge der strukturellen Elemente von K. Wenn V endlichdimensional ist, kann man auf den Abschluß verzichten.
In der anderen Richtung gilt folgender Satz:
Sei K eine kompakte m-konvexe Menge in V. Sei S eine abgeschlossene Menge von Matrizen über V, so daß
und
für alle partiellen Isometrien
und für alle
,
.
Wenn die abgeschlossene m-konvexe Hülle von S gleich K ist, dann liegen alle strukturellen Elemente von K in S(vgl. [WW99], [Fis96]).
Für speziellere m-konvexe Mengen lassen sich diese Ergebnisse verschärfen. Eine m-konvexe Menge K in V heiße einfach53, wenn und existieren, so daß K gleich der m-konvexen Hülle von A ist. Für eine einfache m-konvexe Menge K gibt es , so daß für alle m>n.
Sei K eine m-konvexe Menge in V. Für beliebige
heiße
Matrix-Extremalpunkt von K, wenn
und
Sei K eine einfache, kompakte und m-konvexe Menge in V. Dann ist K gleich der
abgeschlossenen m-konvexen Hülle ihrer Matrixextremalpunkte. Ist V endlichdimensional, so
gilt schärfer, K ist die m-konvexe Hülle ihrer Matrixextremalpunkte.
Zusätzlich läßt sich dann zeigen: Ist S eine Menge von Matrizen über V, die keine reduziblen
Elemente enthält und deren m-konvexe Hülle gleich K ist, dann gilt
für alle
(vgl. [Mor94], [Fis96]).
Im allgemeinen kann für eine m-konvexe Menge K leer sein, auch wenn K kompakt ist. Als Beispiel sei der verallgemeinerte Zustandsraum CS(A) einer C*-Algebra A genannt. Seine Matrixextremalpunkte sind genau die endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen von A. Diese müssen i. a. nicht existieren.