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Die kanonische Operatorraumstruktur

  Für einen rechten Hilbert-C*-Modul X über einer C*-Algebra Adefiniert man die  kanonische Operatorraumstruktur für $x\in M_n(X)$ durch

\begin{displaymath}\left \Vert x \right \Vert _n:=
\left \Vert \left [\sum_{k=1...
...} ,
x_{kj} \rangle_A \right] \right\Vert _{M_n(A)} ^{1/2} \,.
\end{displaymath}

Mit diesen Matrizennormen wird X zu einem A-Operatormodul. Man beachte, daß $(M_n(X), \Vert\cdot\Vert _n)$ ein rechter Hilbert-C*-Modul über Mn(A) ist. Das Skalarprodukt für $x,y \in M_n(X) $wird erklärt durch

\begin{displaymath}\langle x , y \rangle_{M_n(A)} := \left [
\sum_{k=1}^n \langle x_{ki} ,
y_{kj} \rangle_A \right],
\end{displaymath}

die Moduloperation durch

\begin{displaymath}[x_{ij}]\cdot [a_{ij}]:= \left [ \sum_{k=1}^n x_{\mu k} \cdot a_{k \nu}
\right].
\end{displaymath}

Für einen linken Hilbert-C*-Modul X definiert man die kanonische Operatorraumstruktur durch

\begin{displaymath}\Vert x\Vert _n:= \left \Vert \left [ \sum_{k=1}^n {}_A\langle x_{ik} ,
x_{jk} \rangle \right] \right\Vert _{M_n(A)} ^{1/2}
\end{displaymath}

für $x\in M_n(X)$. Man beachte, daß Mn(X) mit $\Vert\cdot\Vert _n$ zu einem linken Hilbert-C*-Modul über Mn(A) wird, dessen Skalarprodukt für $x,y \in M_n(X) $ gegeben ist durch

\begin{displaymath}\langle x , y \rangle_{M_n(A)} := \left [ \sum_{k=1}^n
{}_A\langle x_{ik} ,
y_{jk} \rangle \right].
\end{displaymath}

Die Moduloperation entspricht der Matrizenmultiplikation von links.



 

Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04