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Der Zeilenraum

Es sei $\bigoplus_{i=1}^n X$ die algebraisch direkte n-fache Summe eines rechten Hilbert-C*-Moduls X über einer C*-Algebra A. Schreibt man Elemente aus $\bigoplus_{i=1}^n X$ als Zeilen, so liest sich die folgende Modulabbildung wie die Multiplikation einer Zeile mit einer Matrix:

\begin{displaymath}\bigoplus_{i=1}^n X \times M_n(A) \rightarrow
\bigoplus_{i=1}^n X
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left((x_1, \dots, x_n),[a_{ij}]\right)
:= \left( \sum_{l=1}^...
...l \cdot a_{l1}, \dots,
\sum_{l=1}^n x_l \cdot a_{ln}
\right)
\end{displaymath}

Zusammen mit der bilinearen Abbildung

\begin{displaymath}\langle \, \cdot \, , \, \cdot \, \rangle :
\bigoplus_{i=1}^n X \times
\bigoplus_{i=1}^n X \rightarrow M_n(A)
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\langle (\begin{array}{*{2}{c@{,}}c} x_1 & \cdots & x_n \end{...
...) \rangle_{M_n(A)}
:= \left[ \langle x_i,y_j \rangle_A \right]
\end{displaymath}

wird $\bigoplus_{i=1}^n X$ zu einem rechten Hilbert-C*-Modul über Mn(A). Er wird mit Rn(X) bezeichnet. Die Einbettung von Rn(X) in Mn(X) als erste Zeile ist eine vollständige Isometrie.

Für einen linken Hilbert-C*-Modul X bezeichne Rn(X) die Teilmenge von Mn(X), deren Elemente nur in der ersten Zeile Einträge haben. Als Unterraum von Mn(X) erbt Rn(X) ein inneres Produkt mit Werten in Mn(A). Betrachtet man sich jedoch den Ausdruck des inneren Produktes für zwei Elemente von Rn(X), so sieht man, daß die entstehende Matrix nur einen Eintrag hat. Rn(X) hat also ein inneres Produkt mit Werten in A. Mit der Moduloperation

\begin{displaymath}a \cdot (\begin{array}{*{2}{c@{,}}c} x_1 & \cdots & x_n \end{...
...{*{2}{c@{,}}c} a \cdot x_1 & \cdots & a \cdot x_n \end{array})
\end{displaymath}

ist Rn(X) ein linker Hilbert-A-Modul.



Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04