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Das innere Tensorprodukt von Hilbert-C*-Moduln

Es seien A und B zwei C*-Algebren, X ein rechter Hilbert-A-Modul, Y ein rechter Hilbert-B-Modul, $\Theta : A \rightarrow B^{\mathrm{ad}}(Y)$ ein *-Homomorphismus. Durch den *-Homomorphismus $\Theta$ wird der Operatorraum Y zu einem linken Operator-A-Modul. Auf dem algebraischen Modul-Tensorprodukt $X \otimes_A Y$ läßt sich durch

\begin{displaymath}\langle x_1 \otimes y_1 , x_2 \otimes y_2 \rangle_B :=
\langle y_1 , \Theta ( \langle x_1,x_2 \rangle_A ) \, y_2 \rangle_B
\end{displaymath}

ein B-wertiges inneres Produkt definieren. Mit der Moduloperation

\begin{displaymath}(x \otimes y) \cdot b := x \otimes (y \cdot b)
\end{displaymath}

und dem inneren Produkt $ \langle \cdot , \cdot \rangle_B$ wird die Vervollständigung von $X \otimes_A Y$ zu einem rechten Hilbert-C*-Modul über B. Dieser Hilbert-C*-Modul heißt inneres Tensorprodukt     von X und Y bzgl. $\Theta$ und wird mit    $X
{\otimes_\Theta} Y$ bezeichnet.

Ist $\Theta$ nichtentartet, d.h. liegt

\begin{displaymath}\mathrm{lin} \{ \Theta (a)y \mid a \in A , y \in Y \}\end{displaymath}

dicht in Y, so gilt: Das Modul-Haagerup-Tensorprodukt $ X \otimes_{hA} Y$ist vollständig isometrisch zum inneren Tensorprodukt von X und Y bzgl. $\Theta$ [Ble97]:

\begin{displaymath}X \otimes_{hA} Y \stackrel{\mathrm{cb}}{=}X \otimes_{\Theta} Y \mbox{.}
\end{displaymath}



Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04