Das äußere Tensorprodukt von Hilbert-C^*-Moduln

Sind A und B C^*-Algebren, X ein rechter Hilbert-C^*-Modul über A, Y ein rechter Hilbert-C^*-Modul über B, so definiert

$$\langle x_1 \otimes y_1, x_2 \otimes y_2 \rangle_{A \otimes B... ... \langle x_1,x_2 \rangle_A \otimes \langle y_1,y_2 \rangle_B$$

ein inneres Produkt auf $X \otimes Y$ mit Werten im räumlichen C^*-Tensorprodukt $A \stackrel{\vee}{\otimes} B$. Mit der Moduloperation

$$(x \otimes y) \cdot (a \otimes b) := (x \cdot a) \otimes (y \cdot b)$$

und dem inneren Produkt $\langle \cdot, \cdot \rangle_{A \otimes B}$ wird die Vervollständigung von $X \otimes Y$ zu einem rechten Hilbert-C^*-Modul über $A \stackrel{\vee}{\otimes} B$. Dieser Hilbert-C^*-Modul heißt äußeres Tensorprodukt von X und Y und     wird mit    $X {\otimes_{\mathrm{ext}}} Y$ bezeichnet. Es gilt vollständig isometrisch [Ble97]:

$$X \otimes_{\mathrm{ext}} Y \stackrel{{\rm {cb}}}{=} X \stackrel{\vee}{\otimes} Y.$$