Modulabbildungen zwischen Hilbert-C^*-Moduln

Es seien X und Y rechte Hilbert-C^*-Moduln über einer C^*-Algebra A. Es bezeichne  B(X,Y)_A den Raum der linearen, beschränkten Rechts-A-Modulhomomorphismen von X nach Y,   $\mathit{CB}(X,Y)_A$ den Raum der Abbildungen aus B(X,Y)_A, die zusätzlich vollständig beschränkt sind. Es gilt isometrisch isomorph:

$$B(X,Y)_A \cong \mathit{CB}(X,Y)_A \mbox{.}$$

Das heißt: Jeder beschränkte A-Rechts-Modulhomomorphismus T ist vollständig beschränkt, und es gilt: $\Vert T\Vert _{\mathrm{cb}}=\Vert T\Vert$ [Ble97]. Zusätzlich gilt [Pas73]:

$$\langle Tx,Tx \rangle_A \le \Vert T\Vert^2 \langle x,x \rangle_A .$$

Ein Operator $T^*\in B(Y,X)_A$ heißt  adjungierter Operator   zu einem Operator $T \in B(X,Y)_A$, wenn für alle $x \in X$ und $y \in Y$ gilt:

$$\langle Tx,y \rangle_A = \langle x,T^*y \rangle_A \mbox{.}$$

Existiert zu T ein solches T^*, so heißt T adjungierbar. Nicht jeder Operator $T \in B(X,Y)_A$ ist adjungierbar.

Die Menge der adjungierbaren Operatoren $T \in B(X,Y)_A$ wird im folgenden mit   B^ad(X,Y) bezeichnet. B^ad(X) ist eine C^*-Algebra.

Ein Operator der Form $T_{y,x}: X \rightarrow Y$, $z \mapsto y \langle x,z \rangle_A$ heißt elementarer Operator.     Ein wichtiger Unterraum von B^ad(X,Y) ist   K(X,Y), die abgeschlossene lineare Hülle aller elementaren Operatoren, abgeschlossen bzgl. der von $\mathit{CB}(X,Y)$ induzierten Norm. Die Operatorraumstruktur, die K(X) als Teilmenge von $\mathit{CB}(X)$ erbt, entspricht der Operatorraumstruktur, die K(X) in kanonischer Weise als C^*-Algebra trägt. Es gilt

$$\mathbf{K}(X,Y) \stackrel{\mathrm{cb}}{=}Y \otimes_{hA} \overline{X}$$

vollständig isometrisch via $y \langle x,\cdot \rangle \mapsto y \otimes \overline{x}$ [Ble97].