Interpolation

Seien E₀, E₁ Banachräume. Das Paar (E₀,E₁) heißt verträglich im Sinne der Interpolationstheorie [BL76], wenn es einen Hausdorffschen topologischen Vektorraum V und lineare stetige Inklusionen $E_0 \hookrightarrow V$ und $E_1 \hookrightarrow V$ gibt. Diese erlauben es, den   Interpolationsraum $E_\theta:=(E_0,E_1)_\theta$ für $0<\theta < 1$ zu definieren. Pisier führte die analoge Konstruktion für Operatorräume ein [Pis96, §2]: Seien X_i (i=0,1) Operatorräume. Dann haben wir spezifische Normen auf M_n(X_i) und stetige lineare Inklusionen $M_n(X_i) \hookrightarrow M_n(V)$.⁶³ Der   interpolierte Operatorraum $X_\theta$ wird jetzt über $M_n(X_\theta) := (M_n(X_0),M_n(X_1))_\theta$definiert.
Seien X ein Operatorraum, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum, und es gebe eine beschränkte, lineare und injektive Abbildung $V:\mathcal{H}\rightarrow X$ mit dichtem Bild, so daß die Abbildung⁶⁴ $VV^* : \overline{X^*} \rightarrow X$ ebenfalls beschränkt, linear und injektiv mit dichtem Bild ist. Dann gilt vollständig isometrisch: $(\overline{X^*},X)_\frac{1}{2} \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{OH}_{\mathcal{H}}$ [Pis96, Cor. 2.4].
Beispiele  

1.

$({\mathcal{R}}_{\mathcal{H}},{\mathcal{C}}_{\mathcal{H}})_\frac{1}{2} \stackrel... ...thrm{cb}}{=}(\mathit{MIN}_{\mathcal{H}},\mathit{MAX}_{\mathcal{H}})_\frac{1}{2}$

2.

$({\mathcal{C}}_{\mathcal{H}} \otimes_h {\mathcal{R}}_{\mathcal{H}}, {\mathca... ...al{H}} \stackrel{\mathrm{cb}}{=}\mathit{OH}_{\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}}$

Auf diese Art erhält man auch Operatorraumstrukturen auf den   Schattenidealen $S_p=(S_\infty,S_1)_\frac{1}{p}$ für $1 \leq p \leq \infty$.