Seminar: Liegruppen und Hauptfaserbündel
Universität des Saarlandes, Wintersemester 2005/2006
Dozent: Dr.
Benedikt Betz
Ort und Zeit: Do 14-16,
Gebäude E2 4, Zimmer 412 (Audimin).
Einstieg am 27. 10. noch
möglich.
Inhalt: Liegruppen spielen in der
Mathematik eine zentrale Rolle, weil sie in sehr vielen Bereichen der
Mathematik vorkommen. Einerseits sind sie als Gruppen algebraische Objekte, andererseits
als differenzierbare Mannigfaltigkeiten geometrische Objekte, auf denen
man Analysis betreiben kann.
Daher haben Liegruppen eine sehr reichhaltige Struktur (invariante
Vektorfelder, Liealgebra, invariantes Maß, . . .).
Liegruppen sind die Strukturgruppen von Hauptfaserbündeln.
Hauptfaserbündel bilden das Rückgrat der modernen
Differentialgeometrie. Ein einfachstes Beispiel für
Hauptfaserbündel sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten, die
Strukturgruppe ist die GL(n). Assoziierte
Vektorbündel führen zu den Begriffen ko-/kontravarianter Tensor, Tensordichte,
Pseudotensor(dichte).
Auf Hauptfaserbündeln gibt es Zusammenhänge
und Krümmung.
In dieser Sprache sind die Eichfeldtheorien der Physik formuliert, wie
zum Beispiel die Elekrodynamik. Dabei gilt Kraft = Krümmung, und die
Strukturgruppe beschreibt die physikalische Symmetrie der
entsprechenden Wechselwirkung. Die Symmetriegruppe etwa der
elektromagnetischen Wechselwirkung ist die U(1), die der starken
Wechselwirkung die SU(3).
Wir werden in diesem Seminar - abhängig vom Kenntnisstand der
Teilnehmer - ein Verständnis der Begriffe erarbeiten und Beispiele
kennenlernen.