Summen und Produktzeichen

Summen von endlich vielen reellen Zahlen nennt man im Unterschied zu den noch zu behandelnden unendlichen Reihen auch endliche Summen oder endliche Reihen.

Summen werden mit Hilfe des Summenzeichens abgekürzt:

Bezeichnung 1.2.1 (Summenzeichen)  

1. Es seien $m,n\in\mathbb{Z}$ und $m<n$. Wir schreiben die Summe der Zahlen $a_m, a_{m+1},\dots,a_n\in\mathbb{R}$ mit dem Summenzeichen:
   $$\sum_{k=m}^n a_k :=a_m + a_{m+1} + a_{m+2}+ \cdots + a_{n-1} + a_{n}.$$

2. Man nennt

   $m$	untere Summationsgrenze
   $n$	obere Summationsgrenze,
   $k$	Laufindex oder Summationsindex,
   $a_k$	Summand.

   Die Anzahl der Summanden ist $n-m+1$.

3. Eine formale Erweiterung des Summenzeichens ist die leere Summe: Eine Summe bei der der obere Summationsindex kleiner als der untere Summationsindex ist, heißt leere Summe. Die leere Summen wird als 0 definiert.

Bei der leeren Summe wird nichts addiert, die formalen Summanden müssen nicht einmal definiert sein.

Ein Beispiel einer leeren Summe ist

$$0 = \sum_{k=10}^1 k \not=10+9+ \cdots + 1.$$

Beispiele 1.2.2 (Summenzeichen)  

$$\sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n ,$$

$$\sum_{k=0}^{10} 2^{-k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024},$$

$$\sum_{k=-m}^n c_k 10^k c_k\in\{0,1,\dots,9\},\quad m,n\in \mathbb{N}_0$$

$$\sum_{k=0}^n a_kx^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\cdots a_n x^n \mbox{(Polynom vom Grad $n$)} ,$$

$$\sum_{k=m}^{m-1} a_k =$$ 0   (leere Summe)

Feststellung 1.2.3 (Rechenregeln für endliche Summen)  

1. Auf die Bezeichnung des Index kommt es nicht an:
   $$\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{j=m}^n a_j.$$

2. Verschiebung des Laufindex:
   $$\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{j=m+l}^{n+l} a_{j-l}.$$
   Die Summationsgrenzen müssen entgegengesetzt verschoben werden.

3. Das Assoziativgesetz gilt: Wenn $l,m,n\in\mathbb{Z}$ und $l<m<n$ ist so gilt
   $$\sum_{k=l}^{m-1} a_k + \sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=l}^n a_k.$$
   Beachte, das Summenzeichen bindet stärker als das `$+$'-Zeichen.

4. Das Kommutativgesetz gilt: Bei einer Umordnung (Permutation) der Summanden ändert sich der Wert der Summe nicht.
5. Beispiel: umgekehrte Reihenfolge der Summanden:
   $$\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=m}^n a_{n+m-k}.$$

6. Beispiel: Summen mit gleichen Summationsgrenzen kann man unter einem Summenzeichen zusammenfassen:
   $$\sum_{k=m}^n a_k + \sum_{k=m}^n b_k = \sum_{k=m}^n (a_k+b_k).$$

7. Beispiel: Bei Doppelsummen kann man die Summationsreihenfolge vertauschen:
   $$\sum_{k=m}^n \sum_{l=p}^q a_{kl} = \sum_{l=p}^q \sum_{k=m}^n a_{kl}.$$
   Man ordne die Summanden in einem Rechteck an:
   $$\fbox{$ \begin{array}{llcl} a_{m,p}& a_{m,p+1}& \dots& a_{m,q... ... & \vdots\\ a_{n,p}& a_{n,p+1}& \dots& a_{n,q}. \end{array}$}$$
   Man kann nun entweder zuerst die Zeilensummen bilden und diese aufaddieren oder mit den Spaltensummen beginnen. Auf beiden Wegen erhält man die Summe aller Einträge.

8. Das Distributivgesetz gilt:
   $$c \sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=m}^n c\, a_k.$$

9. Beispiel: Für das Produkt zweier Summen gilt:
   $$\bigg( \sum_{k=m}^{n} a_k \bigg)\bigg( \sum_{l=p}^q b_l \bigg) = \sum_{k=m}^n \sum_{l=p}^q a_k b_l.$$
   Man kann also auf die Klammern auf der linken Seite verzichten.

Produkte werden mit Hilfe des Produktzeichens abgekürzt:

Bezeichnung 1.2.4 (Produktzeichen)  

1. Es seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $m\leq n$. Wir schreiben das Produkt der Zahlen $a_m, a_{m+1},\dots,a_n\in\mathbb{R}$ mit dem Produktzeichen:
   $$\prod_{k=m}^n a_k :=a_m \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdots a_{n-1} \cdot a_{n}.$$

2. Ein Produktzeichen, bei dem die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist, heißt leeres Produkt. Das leere Produkt wird als $1$ definiert.

Bemerkungen und Beispiele 1.2.5 (Produktzeichen)  

1. Auf die Bezeichnung des Index kommt es nicht an; es ist:
   $$\prod_{k=n}^m a_k = \prod_{j=n}^m a_j$$

2. Der Laufindex läßt sich transformieren:
   $$\prod_{k=n}^m a_k = \prod_{j=n+l}^{m+l} a_{j-l}.$$
   Die Grenzen müssen entsprechend transformiert werden.
3. Das Produkt ist assoziativ und die Reihenfolge der Faktoren kann beliebig permutiert werden.

4. Beispiel eines leeren Produktes:
   $$\prod_{j=n+1}^n a_j =1.$$

5. Für $n\in\mathbb{N}_0$, $a \in \mathbb{R}$ gilt
   $$\prod_{k=1}^n a = a^n.$$
   Für $n<0$ stimmt dies nicht!

6. Das Produkt der Zahlen $1,2,\dots,n\in\mathbb{N}$ nennt man Fakultät von $n$ und bezeichnet es mit $n!$. Man setzt $0! := 1$. Sprich: $n$-Fakultät.

   Es gilt für $n\in\mathbb{N}_0$:

   $$n! = \prod_{k=1}^n k$$