Uneigentliche Konvergenz

Definition 2.1.22 (Uneigentliche Konvergenz)  

1. Eine Folge $(a_n)_n$ in $\mathbb{R}$ strebt gegen $+\infty$ , falls es zu jedem $K>0$ ein $n_0\in\mathbb{N}$ gibt, so daß für alle $n\geqslant n_0$ gilt:
   $$a_n>K$$   .$$$$
   Man schreibt $a_n\to+\infty$ oder $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = +\infty$.
2. Eine Folge $(a_n)_n$ in $\mathbb{R}$ strebt gegen $-\infty$, falls es zu jedem $K>0$ ein $n_0\in\mathbb{N}$ gibt, so daß für alle $n\geqslant n_0$ gilt:
   $$a_n<-K$$   .$$$$
   Man schreibt $a_n\to-\infty$ oder $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = -\infty$.

Bemerkung. 1.) Statt $+\infty$ schreibt man auch $\infty$.
2.) Es sei $C>0$. Statt $a_n > K$ kann man auch $a_n \geqslant CK$ fordern.

Bemerkung 2.1.23   Die Symbole $\pm\infty$ sind keine Zahlen. Man kann die Rechenregeln für Grenzwerte bequem formulieren, wenn man $\mathbb{R}$ zu der Menge

$$\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$$

erweitert und die folgenden Regeln vereinbart:

$$-\infty < x < +\infty \mbox{f\uml ur \( x\in\mathbb{R}\),}$$

$$x \pm\infty = \pm\infty + x = \pm\infty \frac{x}{\pm\infty}=0 \mbox{f\uml ur \( x\in\mathbb{R}\),}$$

$$x \cdot \pm\infty = \pm\infty\cdot x = \pm\infty \mbox{f\uml ur \( x>0 \), }$$

$$x \cdot \pm\infty = \pm\infty\cdot x = \mp\infty \mbox{f\uml ur \( x<0 \).}$$

$$\infty+\infty = +\infty -\infty-\infty = -\infty$$

$$\infty\cdot\infty = -\infty\cdot-\infty=\infty +\infty\cdot-\infty=-\infty\cdot+\infty = -\infty$$

$\overline{\mathbb{R}}$ ist total geordnet. Weitere Ausdrücke wie $0\cdot\pm\infty$, $$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$$ und $+\infty-\infty$ sind nicht definiert!

Feststellung 2.1.24   Es seien $(a_n)_n$ und $(b_n)_n$, Folgen in $\mathbb{R}$.

1. Es gilt $a_n\to\pm\infty$ genau dann, wenn
   $$a_n \genfrac{}{}{0pt}{}{>}{<} 0$$   $$\mbox{\quad f\uml ur fast alle \( n\in\mathbb{N}\)}$$       und    $$\frac{1}{a_n}\to 0$$.$$$$

2. Es sei $c>0$, so daß $b_n\geqslant c$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$. Wenn $a_n\to\pm\infty$, dann gilt $a_n b_n \to \pm\infty$.
3. Wenn $a_n \leqslant b_n$, $(n\in\mathbb{N})$, und $a_n\to\infty$, dann gilt $b_n \to \infty$.

Feststellung 2.1.25   Es seien $(a_n)_n$ und $(b_n)_n$, Folgen in $\mathbb{R}$ mit $a_n\to a \in \overline{\mathbb{R}}$ und $b_n \to b\in\overline{\mathbb{R}}$.

1. Wenn $a\pm b$ in $\overline{\mathbb{R}}$ definiert ist, dann gilt $a_n\pm b_n \to a\pm b$.
2. Wenn $a\cdot b$ in $\overline{\mathbb{R}}$ definiert ist, dann gilt $a_nb_n \to a\cdot b$.
3. Wenn $$\frac{a}{b}$$ in $\overline{\mathbb{R}}$ definiert ist, dann gilt $$\frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}$$.

Bemerkung 2.1.26 (Wachstumsgeschwindigkeit)   Es ist für die Analysis sehr wichtig, die Wachstumsgeschwindigkeit von Folgen $a_n\to+\infty$ zu erfassen.

Eine Folge $(b_n)_n$ strebt schneller als $(a_n)_n$ gegen $+\infty$ , falls

$$\displaystyle \frac{a_n}{b_n} \to 0$$

gilt.

Beispiel. In der folgenden Liste strebt jede Folge schneller nach $+\infty$ als die vorhergehende:

   a) $$(n^k), (k\in\mathbb{N})$$   ;     b) $$(q^n), (q>1)$$   ;     c) $$(n!)$$   ;     d) $$(n^n)$$   ;     e) $$(2^{n^2})$$   .$$$$

Zum Beweis siehe Beispiel , und Satz