Cauchysches Konvergenzkriterium

Bei der Definition der Konvergenz muß man den Grenzwert bereits kennen, um die Konvergenzbedingung nachzuprüfen. Das Cauchysche Konvergenzkriterium ermöglicht, die Konvergenz einer Folge zu testen, deren Grenzwert noch nicht bekannt ist.

Definition 2.2.7   Eine Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $\mathbb{R}$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

$$\forall \varepsilon >0\ \exists n_0\in\mathbb{N}\ \forall n,m\geq n_0:\quad \vert a_n-a_m\vert<\varepsilon .$$

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Bemerkung 2.2.8   Die Feststellungen und gelten sinngemäß auch für die Definition von Cauchy-Folgen.

Beispiel. Eine konvergente Folge $(a_n)_n$ ist eine Cauchy-Folge:

Es sei $\lim\limits_{n\to\infty} = c$. Zu $\varepsilon >0$ gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, so daß

$$\vert a_n - c\vert < \frac{\varepsilon }{2}$$   für alle $n\geqslant n_0$.$$$$

Aus der Dreiecksungleichung folgt:

$$\vert a_m - a_n\vert \leqslant \vert a_m - c\vert + \vert c - a_n\vert < \frac{\varepsilon }{2}+ \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon$$   für $m,n\geqslant N_0$.$$$$

Satz 2.2.9 (Cauchysches Konvergenzkriterium)   Eine Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $\mathbb{R}$ ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Beweis .

Diese Beweisrichtung haben wir im obigen Beispiel gezeigt.

Es sei $(a_n)_n$ eine Cauchy-Folge. Wir wählen zu den Vergleichswerten $\varepsilon _k :=\frac{1}{2^k}$ induktiv passende $n_k \in \mathbb{N}$, so daß die Folge $(n_k)_k$ streng monoton wachsend ist und

$$\vert a_m-a_n\vert < \varepsilon _k$$   für alle $m,n \geqslant n_k$.        ($\ast$)$$$$

Wähle zu $\varepsilon _1$ ein passendes $n_1$.

Es seien zu $\varepsilon _1,\dots,\varepsilon _n$ bereits passende $n_k$ gefunden, so daß $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ und ($\ast$) für $k=1,2,\dots,n$ erfüllt ist.

Dann gibt es nach Voraussetung zu $\varepsilon _{k+1}$ ein $n_{k+1}$, so daß $n_{k+1} > n_k$ und ($\ast$) für $k+1$ gilt.

Man setze nun

$$I_k :=[a_{n_k}-2\varepsilon _k,a_{n_k}+2\varepsilon _k]$$.$$$$

Nach Konstruktion ist

Es ist $I_{k+1} \subset I_k$ da (Zeichnung):

$$a_{n_{k+1}} +2 \varepsilon _{k+1} < a_{n_k}+\varepsilon _k + 2\varepsilon _{k+1} = a_{n_k}+2\varepsilon _k$$

$$a_{n_{k+1}} -2 \varepsilon _{k+1} > a_{n_k}-\varepsilon _k - 2\varepsilon _{k+1} = a_{n_k}-2\varepsilon _k$$

und folglich

$$[a_{n_{k+1}}-2\varepsilon _{k+1},a_{n_{k+1}}+2\varepsilon _{k+1}] \subset[a_{n_k}-2\varepsilon _k,a_{n_k}+2\varepsilon _k]$$   .$$$$

Für die Längen der Intervalle gilt: $\vert I_k\vert= 4\varepsilon _k = 4\frac{1}{2^k} \to 0$. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es ein

$$c \in \bigcap_{k\in\mathbb{N}} I_k$$   .$$$$

Wenn $n \geqslant n_k$ so sind $a_n,c\in I_{n_k}$ und folglich:

$$\vert a_n -c\vert \leqslant \vert I_k\vert = 4 \varepsilon _k$$   .$$$$

$$\lim_{n\to\infty} a_n = c$$   .$$$$

Bemerkung. Für die Konvergenz einer Folge reicht es nicht, daß die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder eine Nullfolge bilden:

1. Für die harmonische Reihe $h_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, ( $n\in\mathbb{N}$) gilt $h_{n+1}-h_n = \frac{1}{n+1} \to 0$ aber $h_n\to \infty$.
2. Die Folge $\sqrt{n} \to \infty$ aber $\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \to 0$.
3. Für die beschränkte Folge
   $$0,1,0,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}, 0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1, \frac{2}{3},\frac{1}{3}, 0,\frac{1}{4}, \dots$$
   bilden die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder eine Nullfolge. Die Folge ist aber nicht konvergent.

Wenn die die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder einer Folge kleiner sind als die Summanden einer konvergenten Reihe, so ist die Folge eine Cauchyfolge.

Meistens vergleicht man mit der geometrischen Reihe:

Satz 2.2.10 (Vergleich mit geometrischer Reihe)  

Wenn eine Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ die folgende Bedingung erfüllt

$$\exists\, 0\leq q <1,\,C>0,\,n_0\in\mathbb{N}\ \forall n\geqslant n_0:\quad \vert a_{n+1}-a_n\vert\leq Cq^n$$,$$$$

dann ist sie konvergent.

Beweis . Die Folge ist eine Cauchyfolge. Für $m>n$ gilt

$$\vert a_m-a_n\vert = \Bigl\vert\,\sum_{k=n}^{m-1} (a_{k+1}-a_k\,)\Bigr\vert \leqslant \sum_{k=n}^{m-1}\vert a_{k+1}-a_k\vert$$

$$\leqslant C \sum_{k=n}^{m-1}q^k = C\frac{1-q^{m-n}}{1-q}q^n \leqslant \frac{C}{1-q} q^n$$