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Feststellung 2.2.13 (Approximation der n-ten Wurzel)
Es seien
und
.
Wir erhalten eine monoton fallende Folge
positiver Zahlen durch die Vorschrift:
|
Startwert: |
|
mit
, |
|
|
Rekursion: |
|
|
|
mit folgenden Eigenschaften:
Für den Grenzwert
gilt
.
Bemerkung: Als Startwert kann man z.B.
wählen.
Dann ist
.
Beweis . Die Abschätzungen folgen durch
Induktion nach .
-
Die beiden ersten Aussagen sind klar nach Definition.
- Da
folgt nach Bernoulli ():
.
.
.
Also existiert
.
Aus der Rekursionsformel folgt:
.
Folglich ist .
Satz 2.2.14
Zu
und
existiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl
mit
.
Bezeichnung. Die eindeutig bestimmte Zahl aus vorigem Satz heißt die
-te Wurzel aus . Bezeichnung:
Man setzt
.
Beweis .
- Eindeutigkeit:
- Es seien
.
Wenn
, dann ist
.
Aus
folgt also
.
- Existenz:
- Die Existenz der n-ten Wurzel folgt aus
der Festellung .
Satz 2.2.17 (Bernoullische Ungleichung für die Wurzel)
Für ,
, und
gilt:
.
Beweis . Wir setzen
.
Dann ist . Nach Bernoulli () folgt
Wenden wir die soeben gezeigt Ungleichung an, so folgt:
.
Beweis . Der Fall ist klar.
Wenn der Grenzwert ,
so gibt es ein
so daß
Die Behauptung folgt nun aus der Bernoullischen Ungleichung:
.
Feststellung 2.2.19
Es sei
,
. Dann ist
.
Die Folge
ist
Bemerkung:
Die Konvergenz
folgt aus der Bernoullischen
Ungleichung:
Für gilt:
.
Beispiel.
, |
|
. |
|
Beweis . Für setze man
mit
und wende die Bernoullische Ungleichung
an:
.
Also ist
.
Im Falle ist
und aus
folgt die strenge Monotonie der Folge:
.
Im Falle sind die Kehrwerte
streng monoton fallend.
Feststellung 2.2.20
Die Folge
, (
), ist
streng monoton fallend und es ist
Bemerkung. Die Behauptungen folgen aus der Abschätzung
Beweis . Nach Lemma gilt
Wir setzen
.
.
Also ist
.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09