Genauer gilt für jede Folge in :
Bei der Definition des Grenzwertes einer Funktion in einem Punkt untersuchen wir zunächst den wichtigen Spezialfall, daß der Punkt nicht zum Definitionsbereich von gehört:
Gegeben sei ein offenes Intervall , und eine Funktion .
Eine Zahl heißt Grenzwert der Funktion im Punkte , falls für jede Folge in aus stets folgt.
Bezeichnung. Man schreibt oder für .
Bemerkung
Wir beschränken uns vorerst auf die Fälle, in denen der Unterschied sich nicht bemerkbar macht.
Bemerkung Teil 2.) der Feststellung besagt, daß der Grenzwert nur vom Verhalten der Funktion in einer kleinen Umgebung des Punktes abhängt. ist ein offenes Intervall.
Wir schreiben
Setzen wir diese Funktion in durch ein beliebiges zu einer auf ganz definierten Funktion fort:
Für die auf erklärte Funktion erhält man:
Die folgende Feststellung liefert eine äquivalente Formulierung der Grenzwertdefinition.
Gegeben sei ein offenes Intervall , und eine Funktion .
Für sind die folgenden Aussagen äquivalent:
Bild. Das heißt, zu jedem -Intervall mit Mittelpunkt gibt es ein -Intervall mit Mittelpunkt , so daß
Gegeben sei ein offenes Intervall , und Funktionen mit und
Dann folgt
Auf gilt dann:
Bezeichnung Im allgemeinen geben wir in der Aussage 3.) das Intervall nicht an und schreiben:
Wenn , dann ist .
Wenn , beschränkt, dann .
Nach Feststellung gibt es zu ein , so daß für und folgendes gilt:
Beispiel.
Es sei eine Folge mit für . Dann gilt
Der Grenzwert existiert offenbar nicht.
Für Folgen in mit gilt , für Folgen in mit gilt .
Man kann daher als rechtsseitigen Grenzwert und 0 als linksseitigen Grenzwert von in Punkte 0 auffassen.
Gegeben sei ein nichtleeres, offenes Intervall , mit linkem Endpunkt und eine Funktion .
Eine Zahl heißt rechsseitiger Grenzwert der Funktion im Punkte , falls für jede Folge in aus stets folgt.