Grenzwerte von Funktionen

Beispiele 2.3.1   Die Funktion

$$f:x\mapsto \frac{x^2-4}{x-2}$$

ist im Punkt $2$ nicht definiert. Da

$$f(x)=x+2$$       für $x&ne#neq;2$,$$$$

liegen die Funktionswerte nahe an $4$, wenn $x$ nahe an $2$ liegt.

Genauer gilt für jede Folge $(x_n)$ in $\mathbb{R}\setminus \{2\}$:

   Aus    $$x_n \rightarrow 2$$       folgt     $$f(x_n)\rightarrow 4$$   .$$$$

Somit sollte $4$ der ,,Grenzwert`` von $f$ bei der Annäherung an $2$ sein.

Bei der Definition des Grenzwertes einer Funktion $f$ in einem Punkt $a$ untersuchen wir zunächst den wichtigen Spezialfall, daß der Punkt $a$ nicht zum Definitionsbereich von $f$ gehört:

Definition 2.3.2 (Spezialfall $f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$)  

Gegeben sei ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, $a\in I$ und eine Funktion $f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$.

Eine Zahl $\ell \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert der Funktion $f$ im Punkte $a$, falls für jede Folge $(x_n)_n$ in $I\setminus \{a\}$ aus $x_n \rightarrow a$ stets $f(x_n)\rightarrow \ell$ folgt.

Bezeichnung. Man schreibt $\ell = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$ oder $f(x)\rightarrow \ell$ für $x \rightarrow a$.

Bemerkung

1. Wir werden später die Definition auf beliebige Definitionsbereiche ausdehnen.
2. In der obigen Definition ist die Funktion im Punkte $a$ nicht definiert. Irgendein andersweitig erklärter Funktionswert im Punkte $a$ spielt für die Bestimmung des Grenzwertes also keine Rolle.
3. Um auf jedenfall klarzustellen, daß wir die Funktion $f$ auf dem Definitionsbereich $I\setminus \{a\}$ meinen, schreiben wir
   $$\lim_{\substack{x \to a\\ x\not= a}}f(x)$$   .$$$$

4. Diese Vorsichtsmaßnahme ist angebracht, da man in der Literatur zwei Definitionen des Grenzwertes findet. Für den traditionellen Grenzwertbegriff von Weierstraß vergleiche man das Schulbuch, [KABALLO, Band II] oder [KÖNIGSBERGER], für den moderneren, flexibleren Begriff siehe [DIEUDONNÉ], [FORSTER] oder [BRÖCKER].

   Wir beschränken uns vorerst auf die Fälle, in denen der Unterschied sich nicht bemerkbar macht.

Feststellung 2.3.3  

1. Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt.
2. Ist $J \subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $a \in J$, so gilt für die Einschränkung $g :=f\vert _{I\cap J\setminus\{a\}}$:
   $$\lim_{x\to a}f(x) = \ell \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to a}g(x)= \ell$$.$$$$

Bemerkung Teil 2.) der Feststellung besagt, daß der Grenzwert nur vom Verhalten der Funktion in einer kleinen Umgebung $J$ des Punktes $a$ abhängt. $I\cap J$ ist ein offenes Intervall.

Wir schreiben

$$\lim_{\substack{x\to a \\ x\in I\cap J}} f(x) :=\lim_{x\to a}g(x)= \ell$$.$$$$

Beispiele 2.3.4  

1. Es gilt also     $\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}=4$.

   Setzen wir diese Funktion in $x=2$ durch ein beliebiges $c \in \mathbb{R}$ zu einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten Funktion fort:

   $$\widetilde{f}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$,    $$x\mapsto \left\{ \begin{array}{lll} \frac{x^2-4}{x-2} &\mbox{... ...neq 2\\ c &\mbox{f\uml ur}& x=2 \end{array}\text{,} \right.$$
   so gilt in allen Fällen $\lim\limits_{x \rightarrow 2} f(x) =4$.
2. Allgemeiner gilt $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{x^2-a^2}{x-a} =\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a\\ x\not= a}} (x+a) = 2a$.
3. Für $a>0$ gilt $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a\\ x\not= a}} \sqrt{x} =\sqrt{a}$.

   Für die auf $(0,\infty) \setminus \{ a \}$ erklärte Funktion erhält man:

   $$\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} =\lim... ...{x \rightarrow a\\ x\not= a}} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} =\frac{1}{2\sqrt{a}}$$    .$$$$

Die folgende Feststellung liefert eine äquivalente Formulierung der Grenzwertdefinition.

Feststellung 2.3.5 ( $\varepsilon$-$\delta$ Definition des Grenzwertes)  

Gegeben sei ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, $a\in I$ und eine Funktion $f: I\setminus\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$.

Für $\ell \in \mathbb{R}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $\ell = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$,
2. Für alle $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta>0$, so daß für $x\in I \setminus \{a\}$ aus $\vert x-a\vert<\delta$ stets $\vert f(x)-\ell\vert<\varepsilon$ folgt.

Bild. Das heißt, zu jedem $2\varepsilon$-Intervall $I_\varepsilon(\ell)=(\ell- \varepsilon,\ell +\varepsilon)$ mit Mittelpunkt $\ell$ gibt es ein $2\delta$-Intervall $I_\delta(\ell)=(a-\delta,a+\delta)$ mit Mittelpunkt $a$, so daß

$$f(I_\delta(a)\setminus\{a\}) \subseteq I_\varepsilon (\ell)$$.$$$$

Feststellung 2.3.6 (Rechenregeln für Grenzwerte)  

Gegeben sei ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, $a\in I$ und Funktionen $f,g:I\setminus\{a\}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \ell_f$ und $\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = \ell_g$

Dann folgt

1. $\lim\limits_{x \rightarrow a} (f+g)(x) = \lim\limits_{x\to a}f(x)+ \lim\limits_{x\to a}g(x)$.
2. $\lim\limits_{x \rightarrow a} (f\cdot g)(x) = \lim\limits_{x\to a}f(x) \cdot \lim\limits_{x\to a}g(x)$.
3. Wenn $\ell_g\neq 0$, so gibt es ein offenes Intervall $J \subset I$ mit $a \in J$, so daß $g(x) \neq 0$ für $x\in J\setminus\{a\}$.

   Auf $J\setminus\{a\}$ gilt dann:

   $$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a\\ x\in J\setminus\{a\}}}\... ...f}{g} \Bigr)(x) = \frac{ \lim\limits_{x\to a}f(x) }{ \lim\limits_{x\to a}g(x) }$$
   .

Bezeichnung Im allgemeinen geben wir in der Aussage 3.) das Intervall $J$ nicht an und schreiben:

$$\lim_{x\to a}\frac{f}{g}(x) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_f}{\ell_g}$$     .$$$$

Bemerkung 2.3.7   Weitere Regeln sind:

1. Einsperregel: Es sei $h: I\setminus\{a\}\rightarrow \mathbb{R}$ und $f \leqslant h \leqslant g$.

   Wenn $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \lim\limits_{x\to a}g(x) = \ell$, dann ist $\lim\limits_{x\to a}h(x) = \ell$.

   Wenn $\lim\limits_{x\to a}f(x) = 0$, $h$ beschränkt, dann $\lim\limits_{x\to a} (f\cdot h)(x) = 0$.

2. $\lim\limits_{x\to a}\max(f,g)(x) = \max\{ \lim\limits_{x\to a}f(x) ,\lim\limits_{x\to a}g(x) \}$.
3. $\lim\limits_{x\to a}\vert f(x)\vert = \vert\lim\limits_{x\to a}f(x)\vert$.
4. Es sei $p\in\mathbb{N}$. Wenn $f \geqslant 0$, so gilt
   $$\lim\limits_{x\to a}\sqrt[\uproot{2}p]{\strut f(x)} = \sqrt[\uproot{2}p]{\strut\lim\limits_{x\to a}f(x)}$$.$$$$

Beweis (von Feststellung ).

1.

und 2. Dies folgt sofort aus den entsprechenden Regeln für Grenzwerte von Folgen.

3.

Wir müssen ein offenes Intervall $J$ angeben, das $a$ enthält und auf dem $g(x) \not= 0$ ist:

Nach Feststellung gibt es zu $$\varepsilon :=\frac{\vert\ell_g\vert}{2}>0$$ ein $\delta>0$, so daß für $x\in D_f$ und $\vert x-a\vert<\delta$ folgendes gilt:

$$\vert\ell_g -g(x)\vert < \varepsilon = \frac{\vert\ell_g\vert}{2} \text { .}$$

$$\Rightarrow\quad \vert\ell_g\vert -\vert g(x)\vert < \frac{\vert\... ...vert}{2} \quad\Rightarrow\quad 0 < \frac{\vert\ell_g\vert}{2} < \vert g(x)\vert \text { .}$$

Die restliche Behauptung folgt nun aus der entsprechenden Regel (3) für Quotienten von Folgen.

Beispiel.

$$\lim_{\substack{x \to 1\\ x\not=1\\ }}\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}} = 1$$

Die Funktion ist für $x > 0$ erklärt, da:

$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} > 0$$       für $x > 0$.$$$$

Es sei $(x_n)_n$ eine Folge mit $x_n\to 1$ für $n\to \infty$. Dann gilt

$$\sqrt{\strut x_n} \to 1,$$

$$\sqrt{x_n-\sqrt{x_n}} \to 0,$$

$$\sqrt{x_n+\sqrt{x_n}} \to \sqrt{2},$$

$$\sqrt{\strut x_n^2+1} \to \sqrt{2} \text\,{.}$$

Beispiele 2.3.8   Die Heaviside-Funktion wird auf $\mathbb{R}$ definiert durch

$$H(x):= \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ f\uml ur } & x<0\\ 1 & \mbox{ f\uml ur } & x\geqslant 0\\ \end{array} \right.$$

Die Heaviside Funktion beschreibt einen Einschaltvorgang, ein Signal springt von $0$ auf $1$.

Der Grenzwert $\lim_{\substack{x \rightarrow 0\\ x\not=0}} H(x)$ existiert offenbar nicht.

Für Folgen $(x_n)$ in $(0,\infty)$ mit $x_n \rightarrow 0$ gilt $H(x_n) \rightarrow 1$, für Folgen $(x_n)$ in $(-\infty,0)$ mit $x_n \rightarrow 0$ gilt $H(x_n) \rightarrow 0$ .

Man kann daher $1$ als rechtsseitigen Grenzwert und 0 als linksseitigen Grenzwert von $H$ in Punkte 0 auffassen.

Definition 2.3.9 (rechtsseitiger Grenzwert)  

Gegeben sei ein nichtleeres, offenes Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, mit linkem Endpunkt $a \in \mathbb{R}$ und eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$.

Eine Zahl $\ell \in \mathbb{R}$ heißt rechsseitiger Grenzwert der Funktion $f$ im Punkte $a$, falls für jede Folge $(x_n)_n$ in $I$ aus $x_n \rightarrow a$ stets $f(x_n)\rightarrow \ell$ folgt.

Bezeichnung und Bemerkung 2.3.10  

1. Man schreibt
   $$\lim\limits_{x \downarrow a} f(x) = \lim\limits_{x\to a^+}f(x) = f(a^+) :=\ell$$
   oder $f(x)\rightarrow \ell$ für $x \downarrow a$.

2. Der rechsseitige Grenzwert ist ein Spezialfall des Grenzwertbegriffes . Man kann also auch $\lim_{x\to a} f(x)$ schreiben.
3. Analog definiert man für ein nichtleeres, offenes Intervall $I$ mit rechtem Endpunkt $b \in \mathbb{R}$ den linksseitigen Grenzwert
   $$\lim\limits_{x\uparrow b} f(x) = \lim\limits_{x\to b^-}f(x) = f(b^-) :=\ell$$
   und schreibt $f(x) \to \ell$ für $x \uparrow a$.
4. Es sei $I$ ein offenes Intervall, $a\in I$ und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Wir vereinbaren:
   $$\lim\limits_{x\downarrow a} f(x) :=\lim\limits_{\substack{x\downarrow a\\ x\in(a,\infty)}} f(x)$$   ,$$\qquad \lim\limits_{x\uparrow a} f(x) :=\lim\limits_{\substack{x\uparrow a\\ x\in(-\infty,a)}} f(x)$$   .$$$$

5. Für innere Punkte $a\in I$ gilt also:
   $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x\not=a}}f(x) = \ell \quad\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{x\downarrow a} f(x) = \ell$  und  $\lim\limits_{x\uparrow a} f(x) = \ell$. $$$$