Stetigkeit der Umkehrfunktion

Satz 2.5.17 (Stetigkeit der Umkehrfunktion)  

Es seien $I$, $J \subset \mathbb{R}$ nichtausgeartete Intervalle und $f:I\rightarrow J$ eine streng monoton wachsende Funktion mit Umkehrfunktion $g: J\rightarrow I$.

Dann sind $f$ und $g$ stetig.

Anmerkung

1. Der Satz gilt analog für streng monoton fallende Funktionen.
2. Wie die folgenden beiden Beispiele zeigen, benötigt man beide Voraussetungen:
   • $f$ ist streng monoton wachsend oder fallend.
   • Das Bild von $f$ ist ein Intervall.

Beispiele

1. Man setze $g = f : [-1,1) \rightarrow [-1,1)$ mit:
   $$g(x) = f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x+1 &\text{wenn \( -1 \leq... ... x < 0 \),}\\ x-1 &\text{wenn \( 0 \leqslant x < 1 \).} \end{array} \right.$$
   Es ist $g = f^{-1}$ aber unstetig in $x_0=0$.
2. Man definiere $f: [-1,1] \rightarrow [-1,0)\cup[1,2]$ mit Umkehrfunktion $g:[-1,0)\cup[1,2] \rightarrow [-1,1]$ durch

   $$f(x) :=\left\{ \begin{array}{ll} x &\text{wenn \( -1 \leqslant x < 0 \),}\\ x+1 &\text{wenn \( 0\leqslant x \leqslant 1 \).} \end{array} \right.$$

   $$g(y) :=\left\{ \begin{array}{ll} y &\text{wenn \( -1 \leqslant y < 0 \),}\\ y-1 &\text{wenn \( 1 \leqslant y \leqslant 2 \).} \end{array} \right.$$

   
   
   Die streng monotone Funktion $f$ hat eine Sprungstelle in $x_0=0$.

Beweis (Stetigkeit der Umkehrfunktion).

Wir zeigen die Stetigkeit der Umkehrfunktion $g$ (vgl. Satz ).

Es seien $x_0\in I$, $y_0=f(x_0)\in J$ und $\varepsilon >0$. Es sei $a\in \overline{R}$ der linke Endpunkt von $I$ und $b \in \overline{\mathbb{R}}$ der rechte Endpunkt. Man setze

$$\alpha :=\left\{ \begin{array}{ll} x_0-\varepsilon & \text{falls \( x_0-\varepsilon \in I \),}\\ \frac{1}{2}(a+x_0) & \text{sonst;} \end{array} \right.$$

$$<tex2html_comment_mark>279 \beta :=\left\{ \begin{array}{ll} x_0+\varepsilon & \text{falls \( x_0+\varepsilon \in I \),}\\ \frac{1}{2}(x_0+b) & \text{sonst;} \end{array} \right.$$

$$<tex2html_comment_mark>280 \delta :=\left\{ \begin{array}{ll} \min\{ y_0-f(\alpha), f(\beta)-y_0 \}... ...= x_0 \),}\\ y_0-\alpha &\text{wenn \( x_0 = \beta = b \).} \end{array} \right.$$

Es ist $\delta>0$. Für $y\in J$ gilt

$$\vert y-y_0 \vert\leqslant \delta \quad\Rightarrow\quad f(\alpha... ...qslant f(\beta) \quad\Leftrightarrow\quad \alpha \leqslant g(y) \leqslant \beta$$   .$$$$

und somit $\vert g(y_0)-g(y)\vert = \vert x_0-g(y)\vert \leqslant \varepsilon$.

Aus Satz und Korollar folgt nun:

Korollar 2.5.18 (Stetigkeit der Umkehrfuntion)  

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige und streng monotone Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:J\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, wobei $J:=f(I)$.

Satz 2.5.19   Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein nicht ausgeartetes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige und injektive Funktion. Dann ist $f$ streng monoton.

Wir betrachten zunächst den Fall $I = [a,b]$.

Lemma 2.5.20   Es seien $a$, $b \in \mathbb{R}$, $a < b$ und $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ injektiv und stetig.

Wenn $f(a) < f(b)$, so ist $f$ streng monoton wachsend.

Beweis . Annahme: $f$ ist nicht strikt monoton wachsend:

Dann gibt es Punkte $x$, $y\in [a,b]$ mit $x<y$ und $f(x)\geqslant f(y)$. Da $f$ injektiv, ist $f(x) > f(y)$. Wir unterscheiden zwei Fälle:

Zu einem $c$ mit $f(y) < c < f(x)$ gibt es nach dem Zwischenwertsatz

$$\xi \in (a,x)$$   und$$\quad \eta \in (x,y)$$

mit $f(\xi)=f(c) = f(\eta)$.

Da $\xi\not=\eta$, widerspricht das der Injektivität von $f$.

Zu einem $c$ mit $f(y) < c < f(a)$ gibt es nach dem Zwischenwertsatz

$$\xi \in (a,y))$$   und$$\quad \eta \in (y,b)$$

mit $f(\xi)=c=f(\eta)$.

Da $\xi\not=\eta$, widerspricht das der Injektivität von $f$.

Beweis . Wähle $a$, $b \in I$ mit $a < b$.

Wir zeigen, wenn $f(a) < f(b)$, dann ist $f$ streng monoton wachsend:

Seien $x$, $y \in I$ mit $x<y$. Man setze

$$c:=\min \{ x,a \}$$   und$$\quad d :=\max \{ y,b \}$$.$$$$

Nach dem vorangehenden Lemma ist die Einschänkung $f\vert _{[c,d]}$ entweder streng monoton wachsend oder fallend, je nachdem ob $f(c) < f(d)$ oder $f(c)>f(d)$ ist.

Da $a,b \in [c,d]$ und $f(a) < f(b)$ ist, muß die Einschränkung $f\vert _{[c,d]}$ streng monoton wachsend sein.

Da $x,y \in [c,d]$ ist, folgt $f(x) < f(y)$.

Wenn $f(a) > f(b)$ ist, folgt analog, daß $f$ streng monoton fallend ist.

Beispiel (Logarithmus).

Für $a \in \mathbb{R}$, $a>1$ ist die Exponentialfunktion zur Basis $a$:

$$\mathbb{R}\ni x \mapsto a^x \in (0,\infty)$$

stetig, streng monoton wachsend und bijektiv.

Für $a \in \mathbb{R}$, $0 < a < 1$ ist die Exponentialfunktion zur Basis $a$:

$$\mathbb{R}\ni x \mapsto a^x \in (0,\infty)$$

stetig, streng monoton fallend und bijektiv.

Definition 2.5.21 (Logarithmus zur Basis $a$)  

Es sei $a \in \mathbb{R}$, $0<a$. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis $a$ heißt Logarithmus zur Basis $a$:

$$(0,\infty) \ni x \mapsto \log_a(x) \in \mathbb{R}$$.$$$$

Bezeichnung 2.5.22 (Der natürliche Logarithmus)  

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $\exp: x \mapsto e^x$ heißt natürlicher Logarithmus oder kurz der Logarithmus und wird mit

$$\log x$$   oder$$\quad \ln x$$

bezeichnet.

Mathematiker schreiben meistens $\log x$, Physiker und Ingenieure $\ln x$.

Bemerkung 2.5.23  

1. Für $a \in \mathbb{R}$, $a>0$ gilt
   $$a^x = e^{x\,\log a}$$   für $x \in \mathbb{R}$.$$$$

2. Die Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor:
   $$\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$$   für $0<a$, $a\not=1$ .$$$$
   Daher reicht es, den natürlichen Logarithmus zu untersuchen.

Feststellung 2.5.24 (Regeln: Logarithmus)  

1. Der Logarithmus $\log: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ist stetig, streng monoton wachsend und streng konkav.
2. Es gilt die Funktionalgleichung
   $$\log(xy) = \log x + \log y$$   für $x$, $y\in (0,\infty)$.$$$$

3. Es gilt
   $$\lim_{x\downarrow 0}\log x = -\infty, \quad \log 1 = 0,~ \log e = 1,\quad \lim_{x\to\infty} \log x = \infty$$   .$$$$

Anmerkung. Wir werden noch weitere wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion und des Logarithmus in den folgenden Kapiteln kennenlernen.