Wir stellen für die Integrationstheorie eine Klasse von reellen Funktionen bereit, die sogenannten Regelfunktionen.
Zu den Regelfunktionen gehören die Treppenfunktionen und die stückweise stetigen Funktionen:
Es sei ein kompaktes Intervall. Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es endlich viele Punkte so gibt, daß für die Einschränkung konstant ist.
Bemerkung. Die Treppenfunktion ist also auf den offenenen Intervallen konstant. Die Werte in den Teilpunkten unterliegen keiner Beschränkung.
Es sei ein kompaktes Intervall. Eine Funktion heißt stückweise stetig, wenn es endlich viele Punkte so gibt, daß für die Einschränkung stetig ist und in den Endpunkten einseitige Grenzwerte in :
Bemerkung. Die stückweise stetige Funktion ist also auf den offenenen Intervallen stetig und hat eine stetige Fortsetzung auf die abgeschlossenen Intervalle .
Es gibt keine Vorschrift für die Werte in den Teilpunkten .
Eine stückweise stetige Funktion ist beschränkt.
Es sei ein Intervall mit Anfangpunkt und Endpunkt . Eine Funktione heißt eine Regelfunktion, wenn folgendes gilt:
Die Menge der Regelfunktionen auf wird mit bezeichnet.
Bemerkung Die Definition der Regelfunktion macht keine Vorschrift über die Lage von zu den einseitigen Grenzwerten und im selben Punkt.
Beispiele von Regelfunktionen sind:
Die Rechenregeln für stetige Funktionen gelten sinngemäß für Regelfunktionen.
Dagegen ist die Wackelfunktion (vgl. Beispiel (.)) keine Regelfunktion, da für die Wackelfunktion in die einseitigen Grenzwerte nicht existieren.
Es seien ein Intervall und eine Folge von Regelfunktionen auf , die gleichmäßig auf gegen eine Funktion konvergiert.
Dann ist die Grenzfunktion eine Regelfunktion.
Beweis . Die Feststellung folgt unmittelbar aus Satz
Es sei ein kompaktes Intervall. Für eine Funktion sind die folgenden Aussagen äquivalent:
Übungsaufgabe. Man beweise die Ausage des des Korollars unabhängig, indem man die Beweismethode des Lemmas anpaßt. Man vgl. dazu auch den Beweis von Satz .
Beweis . Klar nach Feststellung
Zu bilde man die Menge
ex. Treppenfunktion | |
mit für } . |
Es ist . Sei also . Da Regelfunktion und ist, gibt es mit , so daß
Da Regelfuntion ist, gibt es mit so, daß
Die Folge konvergiert gleichmäßig auf gegen .
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine Eigenschaft, die ein Teilintervall
haben kann.
Es gelte:
Aus und haben ,
folgt hat .
Man bilde dann hat Eigenschaft . und zeige:
Es seien ein kompaktes Intervall. und eine Regelfunktion.
Bemerkung Analog zu (1.) gibt es eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert.
Beweis .
Für die Treppenfunktionen
Beweis . Es gibt eine Treppenfunktion mit