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Bemerkung.
Wir untersuchen die Stammfunktion
.
und zeigen, daß
der natürliche Logarithmus ist.
Die Bezeichnung verwenden wir nur im Beweis des folgenden
Satzes.
Zur Identifizierung benötigen wir eine Charakterisierung
der Exponentialfunktion.
Bemerkung 3.1.28 (Funktionalgleichung)
Es sei
stetig und es gelte
und
. Dann gilt
für
.
Beweis . Induktiv folgt
Weiterhin folgt aus der Funktionalgleichung
Aus der Eindeutigkeit der -ten Wurzel folgt
Da stetig ist, folgt mit , daß
für
.
Beweis . Wir bezeichnen das Integral mit
.
- es ist .
Da der Integrand streng positiv ist, ist streng monoton
wachsend.
- Nach der Transformationsformel
gilt mit der affinen Transformation
, :
Hiermit folgt:
- Für gilt
.
Für gilt
.
Also gilt
für
, .
Dann folgt
.
- Da die Stammfunktion stetig ist, folgt aus (3.)
.
Also ist
.
- Da monoton wachsend ist, gilt
und
und analog
.
also ist das Bild
.
- Es gibt die stetige, streng monoton wachsende Umkehrfunktion
von .
Aus (4.) folgt und aus (2.) folgt
Also gilt nach Bemerkung
für
und somit nach Definition
für
.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09