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Eine Abbildung
mit Zielbereich
heißt auch
Funktion. Für Funktionen , lassen sich
Summe, Produkt, und Quotient punktweise
für definieren:
wobei
nur auf
erklärt
ist.
Entsprechend definiert man
und .
Weiter hat man die punktweisen Beziehungen
und
Definition 1.4.1
Eine Menge
heißt
- a)
- nach oben beschränkt, falls
- b)
- nach unten beschränkt, falls
- c)
- beschränkt, falls nach unten und nach oben
beschränkt ist.
Die
, die a) bzw. b) erfüllen heißen obere, bzw.
untere Schranke von .
ist genau dann beschränkt, wenn ein reelles existiert, so daß
für alle aus gilt
.
Wichtige Teilmengen von
sind beschränkte oder
unbeschränkte Intervalle:
Das Symbol für ,,unendlich`` steht hier, wie im folgenden,
lediglich als Abkürzung.
Die Beschränktheitsbegriffe für Mengen lassen sich auf Funktionen
übertragen, in dem man sie auf die Bilder der Funktionen anwendet.
Definition 1.4.4
Sei
eine Menge.
- Eine Funktion
besitzt
ein Minimum, falls ein Minimum besitzt.
Punkte mit
heißen Minimalstellen.
- Eine Funktion
besitzt
ein Maximum, falls ein Maximum besitzt.
Punkte mit
heißen Maximalstellen.
Maximalstellen und Minimalstellen nennen wir auch Extremalstellen.
Für Funktionen mit
führt man folgende
Monotoniebegriffe ein:
Bemerkung 1.4.7
Im Fall
,
nennt man die Umkehrabbildung
der Funktion
auch
Umkehrfunktion.
Dieser Satz gilt sinngemäß auch für streng monoton fallende Funktionen.
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Analysis1-A.Lambert
2001-02-09