UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 1

Abgabe: Mittwoch, 26.04.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (Wiederholung des komplexen Betrages) (4+6=10 Punkte)

(a) Bestimmen Sie alle komplexe Zahlen z, die den folgenden Ungleichungen genügen

|z − 1| ≤ |z + i| ≤ |z + 1|

und skizzieren Sie diese.

(b) Seien z, w komplexe Zahlen mit |w| < 1. Zeigen Sie, dass dann gilt

|\frac{z − w}{1 − \overline{w}z} | < 1 ⟺ |z| < 1.

Aufgabe 2 (4+6=10 Punkte)

(a) Berechnen Sie das 4-te Taylorpolynom zu der Funktion f(x) = x^{4} − 3x + 1 und machen Sie eine Aussage über den Fehler.

(b) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung zu f(x) = \frac{exp(x)}{1−x} um den Entwicklungspunkt x_{0} = 0. (Hinweis: Leibniz’sche Formel)

Aufgabe 3 (10 Punkte)

Zeigen Sie Warnung 6.27 aus der Vorlesung: Die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f(x) := \{ \begin{matrix}exp(−x^{−2}) & für 0 ≠ x ∈ ℝ \\ 0 & für x = 0 \end{matrix}

ist auf ℝ beliebig oft differenzierbar und erfüllt f^{(n)} = 0 für alle n ∈ ℕ_{0}.

Aufgabe 4 (4+6=10 Punkte)

(a) Berechnen Sie eine Partialbruchzerlegung von

\frac{1}{t^{2} − 1}.

Bitte wenden!

(b) Berechnen Sie mit Hilfe von Teil (a) das Integral

∫_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 − ξ^{2}}}{ξ} dξ

mit 0 < x ≤ 1.

Aufgabe 5* (8 Punkte) Betrachten Sie die Taylorentwicklung von f(x) = sin x um den Entwicklungspunkt x_{0} = 1. Wieweit müssen Sie f(x) in eine Taylorreihe entwickeln, damit der Fehler in dem Intervall [−1, 3] kleiner als \frac{1}{10} ist?

Informationen zur Bepunktung der Aufgaben

• Punkte aus *-Aufgaben tragen nicht zur maximal erreichbaren Punktzahl bei, werden jedoch, wenn Sie eine solche bearbeiten, wie Punkte aus normalen Aufgaben gewertet. Auf diesem Blatt sind also 40 Punkte = 100%, aber Sie können 48 Punkte erreichen.

• Die Übungsgruppen beginnen nächste Woche mit der Besprechung dieses Übungsblattes. Entnehmen Sie bitte den Aushängen am schwarzen Brett in Gebäude E2 5, in welche Übung Sie eingeteilt wurden.