UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 10

Abgabe: Mittwoch, 28.06.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (8 Punkte) Für n ∈ ℕ sei

f_{n} : ℝ → ℝ, x ↦ \frac{1}{n} sin(nx).

Zeigen Sie, dass die Folge (f_{n}) gleichmäßig auf ℝ gegen die Nullfunktion konvergiert, aber die Folge der Ableitungen nicht mal punktweise konvergiert.

Aufgabe 2 (5x2=10 Punkte) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{n}}{n!} z^{n}.  (b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{s}}{n!} z^{n} für s ∈ ℝ.
(c) ∑_{n=0}^{∞}(4n^{3} − 3n^{4})z^{n}.  (d) ∑_{n=0}^{∞} (∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ) z^{n}.

(e) ∑_{n=0}^{∞} ( \begin{matrix}2n \\ n \end{matrix} ) z^{n}.

Aufgabe 3 (6+6=12 Punkte) Sei (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine Folge in 𝕂 mit a_{n} ≠ 0 für alle n ∈ ℕ_{0}, und sei z_{0} ∈ 𝕂 beliebig. Zeigen Sie:

(a) Für den Konvergenzradius R der Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} gilt

R ≥ lim inf_{n→∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} | . (1)

(b) Existiert lim_{n→∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} |, so gilt (1) in Gleichheit.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Sei A eine nichtleere Menge. Mit B(A) bezeichnen wir die Menge aller beschränkten Funktionen f : A → 𝕂. B(A) wird versehen mit der Supremumsmetrik

d_{∞}(f, g) := sup_{a∈A} |f(a) − g(a)|

zu einem metrischen Raum (dies brauchen Sie nicht zu beweisen). Zeigen Sie, dass B(A) vollständig ist.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (3+3=6 Punkte) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} (\frac{n + log n}{n^{2}}) z^{n}.

(b) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{(−1)^{n}}{log n} )^{n^{2}} z^{n}.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

            www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html