UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 11

Abgabe: Mittwoch, 05.07.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (2+6+4=12 Punkte) Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Die Abbildung det : Mat_{M×M}(ℝ) → ℝ ist stetig.

(b) Die Menge GL(M, ℝ) (:= det^{−1}(ℝ\{0})) ist offen in Mat_{M×M}(ℝ) und die Abbildung

Inv : GL(M, ℝ) → Mat_{M×M}(ℝ), A ↦ A^{−1}

ist stetig.

(Hinweis: Verwenden Sie die Cramersche Regel.)

(c) Die Abbildung Inv ist total differenzierbar. Bestimmen Sie das totale Differential von Inv in jedem Punkt A ∈ GL(M, ℝ). (Hinweis: Verwenden Sie die Definition der totalen Differenzierbarkeit und nutzen Sie aus, dass für A ∈ GL(M, ℝ) und H ∈ Mat_{M×M} nahe bei Null gilt (Beweis!):

(A + H)^{−1} − A^{−1} = −A^{−1}HA^{−1} + (A^{−1} − (A + H)^{−1})HA^{−1}.)

Aufgabe 2 (5+4+3=12 Punkte)

(a) Sei f : [a, b] → [a, b] eine stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass f genau dann stark kontrahierend ist, wenn |f′(x)| < 1 für alle x ∈ [a, b] gilt.

(b) Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die Gleichung

2x − sin x = \frac{1}{2}

genau eine Lösung im Intervall [0, \frac{π}{2} ] besitzt.

(c) Wie viele Iterationsschritte sind nötig, um den Fixpunkt mit einer Genauigkeit von 10^{−3} zu bestimmen? Nehmen Sie x_{0} := 0 als Startpunkt Ihrer Iteration.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Betrachten Sie die Funktion

F : ℝ × ℝ → ℝ, F (x, y) = x^{2}y + y^{3} − 3y + x.

Für welche Punkte x_{0} ∈ ℝ existieren ein offenes Intervall I ⊂ ℝ mit x_{0} ∈ I und eine unendlich oft differenzierbare Funktion g : I → ℝ mit g(x_{0}) = 1 und F (x, g(x)) = 0 für alle x ∈ I? Begründen Sie Ihre Antwort.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (6 Punkte) Sei g : I → ℝ eine Funktion wie in Aufgabe 3. Berechnen Sie nahe x_{0} die Ableitung g′ von g in Abhängigkeit von x und g(x).

Aufgabe 5* (2+4=6 Punkte) Betrachten Sie die Potenzreihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}z^{n!}.

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius.

(b) Zeigen Sie, dass die Reihe in den Punkten exp(\frac{2πi}{k}) für k ∈ ℕ divergiert.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

            www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html