UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 3

Abgabe: Mittwoch, 10.05.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (Zustandsgleichung idealer Gase) (4 Punkte) Für ein ideales Gas mit Druck P, Volumen V und absoluter Temperatur T gilt die Zustandsgleichung

P V = cT,

wobei c eine Konstante ist. Zeigen Sie, dass für ein solches Gas die Beziehung

\frac{∂V}{∂T} \frac{∂T}{∂P} \frac{∂P}{∂V} = −1

besteht.

Aufgabe 2 ((3+3)+(4+4)=14 Punkte)

(a) Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der folgenden Funktionen:

(i) f(x, y) := x^{3} − 2x^{2}y^{2} + 4xy^{3} + y^{4} + 10.

(ii) f(x, y, z) := xyz sin(x + y + z).

(b) Sei Ω ⊂ ℝ^{3} offen, v ∈ C^{2}(Ω, ℝ^{3}) und f, g ∈ C^{2}(Ω, ℝ). Zeigen Sie, dass gilt

(i) div (rot v) = 0.

(ii) △(fg) = f△g + 2∇f∇g + g△f.

Aufgabe 3 (10 Punkte)

Sei die Funktion f definiert durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Zeigen Sie, dass f zweimal partiell differenzierbar ist auf ganz ℝ^{2}, aber f_{xy}(0, 0) ≠ f_{yx}(0, 0) gilt. Ist f stetig auf ℝ^{2}?

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (5+7=12 Punkte) Mit Mat_{M×N}(ℝ) sei der ℝ-Vektorraum der (M × N)-Matrizen über ℝ bezeichnet. Zeigen Sie:

(a) Durch

∥A∥ := sup{|A · x|; x ∈ ℝ^{N}, |x| ≤ 1} (A ∈ Mat_{M×N}(ℝ))

(wobei | · | die euklidische Norm auf ℝ^{N} bzw. ℝ^{M} bezeichnet) wird eine Norm auf Mat_{M×N}(ℝ) definiert. Sind A ∈ Mat_{M×N}(ℝ) und B ∈ Mat_{N×R}(ℝ), dann gilt

∥A · B∥ ≤ ∥A∥ · ∥B∥.

(b) Durch

∥A∥_{2} := ( ∑_{{i=1,...,M \atop j=1,...,N}} a_{ij}^{2})^{\frac{1}{2}} (A ∈ Mat_{M×N}(ℝ))

wird eine Norm auf Mat_{M×N}(ℝ) definiert. Sind A ∈ Mat_{M×N}(ℝ) und B ∈ Mat_{N×R}(ℝ), dann gilt ∥A·B∥_{2} ≤ ∥A∥_{2} ·∥B∥_{2}. Zeigen Sie, dass die Abschätzung

∥A∥ ≤ ∥A∥_{2} ≤ \sqrt{N} ∥A∥

für alle A ∈ Mat_{M×N}(ℝ) gilt.

Aufgabe 5* (Wiederholung zur Analysis I) ((2+2)+5=9 Punkte)

(a) Berechnen Sie die Ableitung von

(i) f(x) = ∫_{0}^{x^{2}}e^{−u^{2}}du.

(ii) f(x) = ∫_{sin x}^{cos x}u^{3}du.

(b) Sei f : ℝ → ℝ stetig und seien g, h : ℝ → ℝ differenzierbar. Zeigen Sie, dass die Funktion

F : ℝ → ℝ, F (x) = ∫_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt

differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung F′ von F.

Informationen zu den Übungsgruppen

• Eine Anmeldung zu den Übungsgruppen ist nur noch bis 05.05.2006 möglich!

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html