UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 4

Abgabe: Mittwoch, 17.05.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 ((3+3)+4=10 Punkte)

(a) Berechnen Sie die Richtungsableitung der folgenden Funktionen in den angegebenen Punkten a in Richtung der angegebenen Vektoren u:

(i) f(x, y) := x^{2} + y^{2},  a = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ,  u = ( \frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}} ) .

(ii) f(x, y, z) := x^{2} + ze^{y},  a = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ,  u = ( 0_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} ) .

(b) Berechnen Sie die Jacobimatrix J_{f} der Funktion

f(x, y, z) = (f_{1}(x, y, z), f_{2}(x, y, z)) = (z^{2}e^{xy}, xye^{2yz}).

Aufgabe 2 (10 Punkte) Untersuchen Sie die folgende Funktion auf partielle und totale Differenzierbarkeit

f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = \sqrt{|xy|}.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte)

Berechnen Sie die Jacobimatrizen und deren Determinante der folgenden Abbildungen in jedem Punkt des jeweiligen Definitionsbereiches

(i) k : (0, ∞) × ℝ × ℝ → ℝ^{3}, (r, θ, φ) ↦ (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ).

(ii) z : (0, ∞) × ℝ × ℝ → ℝ^{3}, (r, θ, z) ↦ (r cos θ, r sin θ, z).

Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen wieder konvex ist.

(b) Sei Ω eine offene, konvexe Teilmenge des ℝ^{n}. Besitzt f ∈ C^{1}(Ω) in Ω beschränkte partielle Ableitungen, so ist f Lipschitz-stetig in Ω.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (8 Punkte) Sei A ∈ Mat_{m×n}(ℝ) und Ω ⊂ ℝ^{n} offen und konvex. Zeigen Sie die folgende Aussage: Ist f : Ω → ℝ^{m} eine total differenzierbare Abbildung mit J_{f}(x) = A für alle x ∈ Ω, so gibt es ein b ∈ ℝ^{m} mit f(x) = Ax + b für alle x ∈ Ω.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

            www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html