UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 5

Abgabe: Mittwoch, 24.05.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (10 Punkte) Sei f : ℝ^{2} → ℝ eine total differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft

\frac{∂f}{∂x}(x, y) = \frac{∂f}{∂y} (x, y)

für alle (x, y) ∈ ℝ^{2}. Zeigen Sie, dass es eine differenzierbare Funktion φ : ℝ → ℝ gibt mit f(x, y) = φ(x + y).

Aufgabe 2 (10 Punkte) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f(x, y) = (x + 2y)^{3} um den Punkt (−1, 1).

Aufgabe 3 (10 Punkte) Wir nennen eine Funktion f : ℝ^{n} → ℝ homogen vom Grad α (α > 0), falls für alle x ∈ ℝ^{n} und alle reelle und positive t gilt

f(tx) = t^{α}f(x).

Zeigen Sie, dass die Eulersche Relation

f ist homogen vom Grad α ⟺ < grad f(x), x >= αf(x) ∀x ∈ ℝ^{n}

gilt.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Bestimmen Sie die Extrema von f(x, y) = x^{4} − 2x^{2} + (2x^{2} − 1)y^{2}.

Aufgabe 5* (4 Punkte) Sei f ∈ C^{2}(ℝ^{2}) eine Funktion mit

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y) = 0

für alle (x, y) ∈ ℝ^{2}. Zeigen Sie, dass es Funktionen u, v ∈ C^{2}(ℝ) gibt, so dass gilt

f(x, y) = u(x) + v(y)

für alle (x, y) ∈ ℝ^{2}. (Hinweis: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

            www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html