UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 6

Abgabe: Mittwoch, 31.05.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (9 Punkte) Berechnen Sie das totale Differential der Abbildung

g : Mat_{N×N}(ℝ) → Mat_{N×N}(ℝ)  mit  g(A) := A^{T} A.

(Hierbei sei mit A^{T} die zu A transponierte Matrix bezeichnet.)

Aufgabe 2 (10 Punkte) Entwickeln Sie die Funktion f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = xe^{x−y} im Punkt (0, 0) nach dem Taylorschen Satz bis zur zweiten Ordnung und geben Sie das Restglied dritter Ordnung explizit an.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Seien die Funktionen u und v definiert durch

u(x, y) = \frac{1}{r^{2}} sin(x^{3} + y^{4})  und  v(x, y) = \frac{1}{r^{2}} (cos(x^{3} + y^{4}) − 1),

wobei r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≠ 0 und u(0, 0) = v(0, 0) = 0 ist.

(a) Untersuchen Sie die partielle Differenzierbarkeit von u im Nullpunkt.

(b) Zu welcher Klasse C^{k}(ℝ^{2}) mit maximalem k gehört u bzw. v?

Aufgabe 4 (6+5=11 Punkte)

(a) Sei Ω eine offene Teilmenge des ℝ^{N}. Zeigen Sie, dass es eine Folge (K_{n})_{n∈ℕ} abgeschlossener und beschränkter Teilmengen von Ω gibt mit den folgenden Eigenschaften:

(i) K_{n} ⊂ int(K_{n+1}) für alle n ∈ ℕ,

(ii) ⋃_{n=1}^{∞} K_{n} = Ω.

Bitte wenden!

(b) Sei Ω ⊂ ℝ^{N} offen. Für f ∈ C(Ω) und K ⊂ Ω beschränkt und abgeschlossen, setze

∥f∥_{K} := sup{|f(x)|; x ∈ K}.

Sei (K_{n}) eine Folge wie in Teil (a). Zeigen Sie, dass durch

d(f, g) := ∑_{j=1}^{∞} 2^{−j} \frac{∥f − g∥_{K_{j}}}{1 + ∥f − g∥_{K_{j}}} (f, g ∈ C(Ω))

eine Metrik auf C(Ω) definiert wird.

Aufgabe 5* (Methode der kleinsten Quadrate) (6 Punkte) Bestimmen Sie zu n vorgegebenen Messwertpaaren (x_{1}, y_{1}), …, (x_{n}, y_{n}) diejenigen Geraden y = a + bx, für die der Ausdruck

F (a, b) := ∑_{i=1}^{n}(y_{i} − a − bx_{i})^{2}

minimal wird.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

            www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html