UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 7

Abgabe: Mittwoch, 07.06.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (4x3=12 Punkte) Sei (X, d) ein metrischer Raum, A, B ⊂ X und a ∈ X. Wir nennen a einen Randpunkt von A, wenn in jeder Umgebung von a mindestens ein Punkt aus A und mindestens ein Punkt aus X \ A liegt. Mit ∂A bezeichnen wir den Rand von A, d. h. die Menge aller Randpunkte von A.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) A offen ⟺ A ∩ ∂A = ∅.

(b) A abgeschlossen ⟺ ∂A ⊂ A.

(c) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).

(d) \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B}.

Aufgabe 2 (4+4=8 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass

δ(x, y) := arctan |x − y|

eine Metrik auf ℝ definiert.

(b) Sei d(x, y) = |x − y| die übliche Metrik auf ℝ. Zeigen Sie, dass das System der bzgl. δ offenen Teilmengen von ℝ mit dem System der bzgl. d offenen Teilmengen übereinstimmt.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei n ≥ 2 und f eine stetige reelle Funktion in ℝ^{n}. Zeigen Sie, dass es unendlich viele Paare diametraler Punkte x, −x gibt mit f(x) = f(−x). (Hinweis: Betrachten Sie die Funktion φ(x) := f(x) − f(−x) und wenden Sie den Zwischenwertsatz an.)

Aufgabe 4 (3+4+3=10 Punkte) Welche der folgenden Teilmengen des ℝ^{2} sind kompakt?

(a) A := {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x^{3} + 3xy + y^{2} < 1}.

(b) B := \{(t, \frac{sin t}{t^{2}}); 0 < t ≤ 1\}.

Bitte wenden!

(c) C := {(x, y) ∈ [0, 1]^{2}; g(x, y) = f(x, y)^{2}}, wobei f, g : ℝ^{2} → ℝ zwei stetige Funktionen sind.

Aufgabe 5* (2+2=4 Punkte) Sei X ein metrischer Raum und A, B ⊂ X. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B).

(b) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

            www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss06/ana2/ana2.html